非対称ランダムウォークに関する中心極限定理

2015 年度「ファイナンス保険数理特論」
補足５
— 非対称ランダムウォークに関する中心極限定理 —
2015 年 6 月 18 日，高岡浩一郎（一橋大）∗
【このファイルは 4 頁分です．
】
問題
１ステップの時間幅が n1 で空間幅が an のランダムウォークを考える．上昇確率と下
降確率は，１ステップごとに pn と 1 − pn とする．ただし，an と pn は n には依存する
が分岐点には依存しないと仮定する．また，an は正で lim an = 0 も仮定する．pn は確
n→∞
率なので 0 ≤ pn ≤ 1 である．
このとき時刻 1, つまり n ステップ後のランダムウォークの位置（確率変数になる）の
積率母関数は
{
}n
Mn (x) =
pn ean x + (1 − pn ) e−an x
(1)
となるが，この関数が n → ∞ のときに各点収束する，つまり x の値を任意に固定する毎
に収束するような数列 { an } および { pn } をすべて決定せよ．またこの時の収束先の関
数 lim Mn (x) を求めよ．
【※ 一般の時刻 t > 0 については，本稿 p.4 の注 3 参照．
】
n→∞
解答
2 段階に分けて議論する．
Step 1
式 (1) 右辺の n 乗の中身が n → ∞ の時に 1 に収束することを示す．この式は上から
pn ean x + (1 − pn ) e−an x ≤ pn ean |x| + (1 − pn ) ean |x| = ean |x|
のように評価でき，同様に下からは
pn ean x + (1 − pn ) e−an x ≥ pn e−an |x| + (1 − pn ) e−an |x| = e−an |x|
∗
一橋大学大学院商学研究科．E-mail: [email protected]
1
まとめると
e−an |x| ≤ pn ean x + (1 − pn ) e−an x ≤ ean |x|
となるので，はさみうちより
{
lim
n→∞
pn ean x + (1 − pn ) e−an x
}
= 1
Step 2
Mn (x) が各点収束するための必要十分条件は，
「x を任意に固定するごとに log Mn (x)
が極限を持ち，極限値（x に依存しても良い）が実数もしくは −∞」である．この条件が
満たされる時
lim log Mn (x)
n→∞
{
=
lim n log
n→∞
[
=
lim
n→∞
pn ean x + (1 − pn ) e−an x
{
n
pn e
an x
+ (1 − pn ) e
−an x
}
]
} log { p ean x + (1 − p ) e−an x }
n
n
−1
pn ean x + (1 − pn ) e−an x − 1
【※分母がゼロの時の対処法は，次頁の注 2 参照．
】
{
=
=
lim n
n→∞
lim n
}
pn ean x + (1 − pn ) e−an x − 1 【 Step 1 と lim
log y
y→1 y−1
{1+q
lim n
n→∞
n
2
n→∞
{
=
(2)
ea n x +
}
1 − qn −an x
e
−1
2
= 1 より】
【ただし qn := 2 (pn − 21 ) 】
ean x − e−an x
ean x + e−an x − 2
+ qn
2
2
}
ゆえに x ̸= 0 の時に
lim log Mn (x) + lim log Mn (−x) =
n→∞
n→∞
=
=
2 lim n
n→∞
ean x + e−an x − 2
2
2 lim n ·
n→∞
ean x + e−an x − 2 (an x)2
·
(an x)2
2
lim n (an x)2
n→∞
2
ey + e−y − 2
= 1 】
y→0
y2
【 ∵ lim
よって，n → ∞ の時に数列 n a2n は収束する．収束先の平方根を σ と記すと，x ̸= 0 の
時に
{
}
σ 2 x2
ean x − e−an x
lim log Mn (x) =
+ lim
n qn
n→∞
n→∞
2
2
{
ean x − e−an x
n qn ·
· an x
2 an x
=
σ 2 x2
+ lim
n→∞
2
=
σ 2 x2
+ x lim n an qn
n→∞
2
}
ey − e−y
= 1 】
y→0
2y
【 ∵ lim
x は正の時もあれば負の時もあるので，
「x を任意に固定するごとに log Mn (x) が極限を持
ち，極限値（x に依存しても良い）が実数もしくは −∞」ならば，数列 n an qn も実数に
収束する．
√
逆に， lim nan = σ かつ lim n an qn = µ のとき， Mn の各点収束先は
n→∞
n→∞
lim Mn (x) = exp
n→∞
( σ 2 x2
2
)
+ µx
σ > 0 のとき，収束先は正規分布 N(µ, σ 2 ) の積率母関数である．また σ = 0 のとき，収
束先は定数関数 µ の積率母関数である．
2
注1
σ の値は数列 an のみに依存して決まる． pn には依存しないことに注意する．
注2
前頁 (2) の式中の分母がゼロになる可能性がある．この場合，以下のように議論すれば
大丈夫である：連続関数 f : R → R を
{
log y
if y ̸= 1,
y−1
f (y) :=
1
if y = 1
と定義すると，
{
}
{
} (
)
an x
−an x
an x
−an x
log pn e
+ (1−pn ) e
= pn e
+ (1−pn ) e
− 1 f pn ean x + (1−pn ) e−an x
となるので，この式の右辺に n を乗じて n → ∞ の極限を考えたもので (2) 式を置き換
えれば，(2) の分母がゼロの場合もＯＫ．
3
注3
一般の時刻 t > 0 に対しては，以下のように議論する．まず，1 頁目の問題文では確率
過程が n1 の自然数倍の時刻に対してしか定義されていないので， nk と k+1
n の間の時刻に
{
}
対しては線形補間した連続過程を Wn (t) t≥0 と記し，固定された時刻 t > 0 に対して，
[
]
確率変数 Wn (t) の積率母関数 Mn (x) = E ex Wn (t) に対して 1 頁目と同じ問題を考え
る． nk ≤ t < k+1
n のとき，つまり k = ⌊nt⌋ のとき，
Wn
( ⌊nt⌋ )
n
( ⌊nt⌋ )
1
1
− √ ≤ Wn (t) ≤ Wn
+√
n
n
n
なので，
{
pn ean x + (1 − pn ) ean x
}⌊nt⌋
|x|
e
− √n
≤ Mn (x) ≤
{
pn ean x + (1 − pn ) e−an x
}⌊nt⌋
e
|x|
√
n
よって，
1
lim log Mn (x) =
t n→∞
=
{
}
1
lim ⌊nt⌋ log pn ean x + (1 − pn ) e−an x
t n→∞
lim n
n→∞
{
}
⌊nt⌋
log pn ean x + (1 − pn ) e−an x
nt
{
=
lim n log
n→∞
pn ean x + (1 − pn ) e−an x
}
⌊nt⌋
= 1 】
n→∞ nt
【 ∵ lim
あとは前頁と同じ議論になる． Mn の各点収束先は
lim Mn (x) = exp
n→∞
( σ 2 t x2
2
)
+ µtx
であり，これは σ > 0 ならば正規分布 N(µt, σ 2 t) の積率母関数である．
注4
特性関数が広義一様収束するための必要十分条件については，複素数の偏角に注意して
議論しなければならないが，最終的には同じ必要十分条件を得る．なお，確率分布族に対
して，以下の 3 つの性質が同値であることが知られているので，厳密な議論のためには積
率母関数でなく特性関数を用いるほうが良い：
• 弱収束する，
• 特性関数が広義一様収束する，
• 特性関数が各点収束して，かつ収束先の関数が x = 0 で連続である．
以上.
4

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