Bochnak 予想 (1973, [1]) M を無限遠で可算 (countable at infinity) な n 次元 C ∞ 級多様体とし, M 上の C ∞ 級関数全体のなす環を C ∞ (M ) とする. J を C ∞ (M ) の零でない有限生成イデア ルとし, J の元の共通零点集合 Z(J) 上で恒等的に 0 の値をとる C ∞ (M ) の元全体 のなすイデアルを J ∗ とする. このとき, J ∗ = J であるための必要十分条件は J が実 (real) かつ C ∞ 位相に関して閉集合であること である. ここで J が実 (real) である, とは f12 + · · · + fk2 ∈ J ならば f1 , . . . , fk ∈ J が成り 立つ, という命題と同値であり, また, J が C ∞ 位相に関して閉集合である, とは任 意の p ∈ Z(J) に対して Tp f ∈ Tp J であれば f ∈ J が成り立つ, という命題と同 値である. ここで Tp f は f の p における形式的テイラー級数をあらわし, Tp J は J の元の p における形式的テイラー級数全体からなる集合である. [補足] 1. J ∗ ⊃ J は常に成り立ち, n = 1 のときは自明である. 2. n = 2 のときは Risler によって肯定的に解かれ, n = 3 のときも部分解が得ら れている.([3]) 3. 任意次元で成り立つ部分解が得られている.([2]) References 1. Bochnak J., Sur le théorème des zéros de Hilbert “différentiable”. Topology 12 (1973), 417–424. 2. Kondo H., Note on C ∞ functions with the zero property. Hokkaido Math. J. 28 (1999), 211–216. 3. Risler J. J., Le théorème des zéros pour les idéaux de fonctions différentiables en dimension 2 et 3. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 26 (1976), 73–107.
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