t検定0 解説

●t 検定 0： 1 標本の母平均と基準値との差の検定（母分散σ2 未知）
正規母集団 N（μ，σ2）
（ただしσ2 未知）からの大きさ n のランダムサンプルの平均値 x と不偏分
散 V に基づいて母平均μに関する検定と推定を行うには，次の手順で行う．
★検定の手順
手順 1 仮説の設定
帰無仮説 H0 及び対立仮説 H1 を設定する．
H0：μ＝μ0
H1：μ≠μ0
H1：μ＞μ0
H1：μ＜μ0
手順 2 有意水準の設定
α＝0.05 またはα＝0.01
手順 3 棄却域の設定
H0 の棄却域は，対立仮説 H1 の種類によって図 1～図 3 から選択する．
表
検定統計量
t0 
x  0
V /n
H0：μ＝μ0 の検定（σ2 未知）
対立仮説 H1
棄却域 R
備考
μ≠μ0
t0  t ( , )
図1
μ＞μ0
to  t ( ,2 )
図 2 右片側検定
μ＜μ0
to  t ( ,2 )
図 3 左片側検定
両側検定
図 1 H0：μ＝μ0 ， H1：μ≠μ0（両側検定）における H0 の棄却域
-1-
φ＝n－1
図 2 Ho：μ＝μ0，H1：μ＞μo（右片側検定）における H0 の棄却域
図3
手順 4
Ho：μ＝μ0，H1：μ＜μo（左片側検定）における Ho の棄却域
検定統計量の計算
サンプルの平均値 x と不偏分散 V を求める．
平均値
x
x
V
 x
 x  n
i
n
2
2
不偏分散
t0 の値を求める．
検定統計量
手順 5
t0 
i
i
n 1
x  0
V /n
判定
t0 と t(φ,α) 値，または t (φ,2α) 値を比較する．
① t0 の値が棄却域にあれば有意と判定する．
帰無仮説 Ho を棄却して，対立仮説 H1 を採択する．
② t0 の値が採択域にあれば有意でないと判定する．
帰無仮説 Ho を棄却しない．
-2-
★推定の手順
手順 1
母平均μの点推定をする
点推定
手順 2
̂  x  
xi
n
信頼率 100（1－α）％における母平均μの区間推定を行う
信頼上限
信頼上限
V
n
V
 L  x  t ( , )
n
U  x  t ( , )
ただし，φ＝n－1
★推定と両側検定との関係
・信頼区間に比較値μ0 が含まれていれば、帰無仮説 H0：μ＝μ0 が採択され、
両側検定は有意にならず、母平均μは比較値μ0 と異なるとは言えない。
・信頼区間に比較値μ0 が含まれなければ、帰無仮説 H0：μ＝μ0 が棄却され、
対立仮説 H1：μ≠μ0 が採択されて、両側検定は有意となり、
母平均μは比較値μ0 と異なると言える。
★推定の解説図
-3-
★【例題】
買ってきた 6 匹の金魚の体長を測ったところ，次のようになった．
10.0
l1.0
l1.5
11.0
10.5
11.5
この金魚の体長は，10.0cm の金魚と異なるのかどうか，有意水準 5％で検定し，買ってきた金魚の母
平均を推定（点推定と区間推定）を行ってみる．
ただし，魚類図鑑からの情報では、金魚の体長の母分散がわからないということで考えてみる．
(1) 検定
手順 1 仮説の設定
帰無仮説 H0：μ＝μ0（μ0＝10.0cm）
対立仮説 H1：μ≠μ0
手順 2 有意水準の設定
有意水準α＝0.05 またはα＝0.01
手順 3 棄却域の設定
棄却域 R： t0  t ( , )  t (5,0.05)  2.571
手順 4
検定統計量の計算
平均値
不偏分散
t0 のの値を求める．
検定統計量
手順 5
x
65.5
 10.92
n
6
2

xi 
65.5  65.5
2

716.75 
 xi  n
6
V

 0.34
n 1
6 1
x
t0 
i

x   10.92  10.0 0.92


 3.83
0.24
V /n
0.34 / 6
判定
t0＝3.83 ＞ t (5,0.05)＝2.571
この結果，有意水準α＝0.05 で有意である．したがって，帰無仮説 Ho が棄却され，対立仮説
H1 が採択される．
従って、買ってきた金魚の母平均は，10.0cm と異なるといえる．
(2) 推定
手順 1 点推定
点推定 ˆ  x  10.92
手順 2 信頼率 95％の区間推定
信頼上限
信頼上限
V
0.34
 10.92  2.571
 10.92  0.61  11.53
n
6
V
0.34
 L  x  t ( , )
 10.92  2.571
 10.92  0.61  10.31
n
6
U  x  t ( , )
-4-

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