解答

数学検定第２６６回準１級２次：数理技能検定
問題１
⑴ 常用対数をとって４５63，５４60，６３57 の大
小を比較する。
解
答
Ｊ１−２−１
⑵ 最小の数は６３57 である。
log10６３57 ＝１０２.５６０１の小数部分に着目
log10４５63 ＝６３log10
１０×３2
２
＝６３
（１＋２log10３− log10２）
＝６３
（１＋２×０.４７７１−０.３０１０）
＝６３×１.６５３２＝１０４.１５１６
log10５４60 ＝６０log10
（２×３3 ）
＝６０
（ log10２＋３log10３）
＝６０
（０.３０１０＋３×０.４７７１）
＝６０×１.７３２３＝１０３.９３８
log10６３＝５７log10（３ ×７）
57
2
＝５７
（２log10３＋ log10７）
＝５７
（２×０.４７７１＋０.８４５１）
＝５７×１.７９９３＝１０２.５６０１
よって
log10６３57 ＜ log10５４60 ＜ log10４５63
であるから
すると
log10６３57 −１０２＝０.５６０１
ここで
log10３＝０.４７７１
log10４＝２log10２＝０.６０２０
に注意すると
log10３＜ log10６３57 −１０２＜ log10４
よって
１０２＋log10３＜log10６３57＜１０２＋log10４
すなわち
３×１０102 ＜６３57＜４×１０102
がわかる。
ゆえに，６３57 の桁数は１０３，最高位の数字
は３である。
（答）桁数１０３，最高位の数字３
６３57 ＜５４60 ＜４５63
（答）６３57 ＜５４60 ＜４５63
問題２
⑴ △ＯＡＢに余弦定理を用いて
cos∠ＡＯＢ＝
2
2
2
５＋６ −５
２・５・６
これと a・b ＝｜a｜
｜b｜cos∠ＡＯＢより
2
６
a・b ＝＝１８
２
cos∠ＢＯＣ＝
３a −４b −２c の大きさを２乗すると
（３a −４b −２c ）
・
（３a −４b −２c ）
2
2
2
2
−２４ a・b ＋１６ b・c −１２ c・a
2
６＋７ −６
２・６・７
これと b・c ＝｜b｜
｜c｜cos∠ＢＯＣより
2
７
４９
b・c ＝＝
２
２
2
条件および ⑴ の結果より，これは
９×２５＋１６×３６＋４×４９
４９
２５
−２４×１８＋１６× −１２×
２
２
＝８０７
△ＯＣＡに余弦定理を用いて
2
より，−６ＭＮ＝３a −４b −２c
＝９｜a｜＋１６｜b｜＋４｜c｜
△ＯＢＣに余弦定理を用いて
2
２
１
１
⑵ ＭＮ＝ＯＮ−ＯＭ＝ b ＋ c − a
３
３
２
2
７＋５ −７
cos∠ＣＯＡ＝
２・７・５
これと c・a ＝｜c｜
｜a｜cos∠ＣＯＡより
2
５
２５
c・a ＝＝
２
２
に等しいので
｜−６ＭＮ｜＝６｜ＭＮ｜＝８０７
よって，線分ＭＮの長さは
２５
４９
（答）a・b ＝１８，b・c ＝，c・a ＝
２
２
８０７
６
（答）
Ｈ２７１４Ｇ０２
８０７
６
Ｊ１−２−２
問題３
２
１
π
１＋
１＋
n
n
８
⑴ （答） Sn ＝
１
１
⑵ ０＜n ＜n ＋１より＞＞０，よって
n
n ＋１
１
１
１＋＞１＋＞１
n
n ＋１
２
２
１＋＞１＋＞１
n
n ＋１
π
π
Sn ＝（１＋０）
⑶ lim
（１＋０）＝
n →∞
８
８
１辺が１の正三角形の面積は
１
３
・１・１・sin６０°＝
４
２
よって
π
３
３π
÷ ＝
４
６
８
１.７３×３.１４
６
辺々をかけて
＝
２
１
２
１
＞１＋
１＋
１＋
１＋
n
n
n ＋１
n ＋１
＝０.９０５３６…
⑴の結果より
求める割合は９１％である。
（答）９１％
Sn ＞ Sn ＋1
（答）Sn ＞ Sn ＋1
問題４
⑴ A が逆行列 A−1 をもつとき
⑵ 命題２の対偶
AA ＝A A ＝E
「A3 が逆行列をもてば，A は逆行列をもつ」
（E は A と同じ型の単位行列）
が真であることを示す。
が成り立つ。
A3 の逆行列をC とすると
−1
−1
3
B ＝（A−1）とおくと
A3C ＝ CA3 ＝E
3
A B
すなわち
A−1A−1
＝AAAA−1A−1A−1 ＝ AA
（AA−1）
A（A2C ）＝E …①，（CA2）A＝E …②
＝AAEA−1A−1
が成り立つ。
A
＝AAA A ＝A（AA ）
①の両辺に左から CA2 をかけると
＝AEA−1 ＝AA−1 ＝E
（CA2）A（A2C ）＝CA2
②を用いると，A2C ＝ CA2 …③
−1
−1
−1
−1
BA3
AA
＝A−1A−1A−1AAA ＝A−1A−1
（A−1A）
①，②，③より，A2C ＝ CA2 は A の逆行列
＝A−1A−1EAA
であることがわかる。
A
＝A A AA ＝A （A A）
すなわち，A は逆行列 A2C ＝ CA2 をもつ。
＝A−1EA ＝A−1A ＝ E
対偶が真より，命題２は真である。
−1
−1
−1
−1
すなわち B は A の逆行列である。
3
よって，A が逆行列をもてば，A3 は逆行列
をもつ。
問題５
⑴ 格子点を x ，y 両座標の偶奇で分類すると
（偶，偶）
，
（偶，奇）
，
（奇，偶）
，
（奇，奇）
の４種類になる。
相異なる５格子点の中には，同種の２点が
少なくとも１組含まれる。
この２点をＰ（ a ，b ），Ｑ（ c，d ）とすると，
a と c の偶奇は一致し，b と d の偶奇も一致
する。
よって a ＋ c，b ＋ d はいずれも偶数であり，
a ＋c b ＋d
線分ＰＱの中点も格子点になる。
，２
２
つまり，Ｐ，Ｑは（条件Ａ）を満たす。
よって，相異なる５個の格子点の中には，
（条件Ａ）を満たす２点が必ず含まれる。
⑵ （答）n ＝１０
Ｈ２７１４Ｇ０２
Ｊ１−２−３
問題６
x 2 ＋ax ＋４＝０ …①
共通解が x ＝２のとき，② より a ＝−４
x 2 ＋２x ＋２a ＝０ …②
共通解が x ＝−１＋３i または x ＝−１− ３i
の共通解が満たす方程式を求める。
のとき，いずれのときも x 2 ＋２x ＋４＝０が成り
１
②より a ＝ − （ x 2 ＋２x ） …②
２
１
立つので，② より a ＝ − （−４）＝２
２
これを①に代入して整理すると
よって，a のとり得る値は−４，２である
２x 2 −（ x 2＋２x ）x ＋８＝０
（ a ＝ −４のとき①と②の共通解は x ＝２のみ，
より
a ＝２のとき①と②は一致する）。
（x 2 ＋２x ＋４）＝０
x 3−８＝（ x −２）
よって，共通解は
（答） a ＝ −４のとき，共通解 x ＝２
a ＝２のとき，共通解 x ＝ −１± ３i
x ＝２，−１± ３i
のいずれかである。
問題７
y ＝ x 2 −２x ＝ x（ x −２）
より，①と x 軸の交
ここで
点は（０，０）
，
（２，０）である。
１６
１
V1 ＝ ×４π×４＝ π
３
３
y ＝ x 2 −２x より y ＝２x −２，よってℓの方
程式は
y ＝（２・２−２）
（ x −２）＝２x −４
2
y＝x 2 −２x ＝
（ x −１）−１より，①の軸は x ＝１
①と直線ℓおよび y 軸で囲まれた図形は下の
図の斜線部分になる。
y ＝x 2−2x
y ＝ x 2−２x を x について解くと
０≦ x ≦１のとき，x ＝１− y ＋１
１≦ x ≦２のとき，x ＝１＋ y ＋１
（定義域はいずれも−１≦ y ≦０）
よって
V2
y ＝2x− 4
y
0
0
2
−1
1
O
−1
−1
0
2
x
2
＝π （１＋ y ＋１）dy −π （１− y ＋１）dy
2
2
dy
＝π ｛
（１＋ y ＋１）−
（１− y ＋１）｝
−1
0
＝４π y ＋１dy
−1
0
−4
3
２
２
８
2 ＝４π −０＝ π
＝４π （ y ＋１）
３
３
３
−1
１６
８
８
ゆえに，V ＝ π− π＝ π ３
３
３
８
（答）V ＝ π
３
よって，底面の半径が２，高さが４の円錐の
体積を V1 とし，y ＝x 2 −２x（０≦x ≦２）と x 軸
で囲まれた図形を y 軸のまわりに１回転してで
きる回転体の体積を V2 とすると
V ＝V1−V2
Ｈ２７１４Ｇ０２

Download Report