Vorlesung Systemtheorie und Regelungstechnik I (SR1) Albert-Ludwigs-Universit¨at Freiburg – Sommersemester 2015 ¨ Python Einf¨ uhrung Ubungsblatt III - Simulation nichtlinearer Systeme Prof. Dr. Moritz Diehl, Dr. J¨org Fischer und Lukas Klar 1. Simulation eines Pendels (a) Laden Sie die Dateien ”toolbox sr1.py” und ”example simulation pendulum.py” von der VorlesungsWebseite http://syscop.de/teaching/systemtheorie/ herrunter und speichern sie beide im gleichen Ordner. F¨ uhren sie ”example simulation pendulum.py” aus. Sie sollten dann den Ausgabe-Plot der Beispielsimulation sehen. Im Beispiel wird ein ruhendes Pendel durch eine impulsf¨ ormig Anregung ausgelenkt. Das Pendel schwingt und kehrt dann in die Ruhelage zur¨ uck. Der Plot zeigt den Winkel des Pendels zur Vertikalen Achse u ¨ber der Zeit. Vollziehen Sie die 7 Schritte (in der unteren H¨alfte der Datei) nach, mit denen das Pendel simuliert wird. (b) Erh¨ ohen Sie die Amplitude des Eingangsimpulses von 2 auf 30 und interpretieren Sie das Ergebnis der Simulation. (c) Setzen Sie den Eingang des Systems und den Reibungskoeffizienten b, welcher in der ODE-Funktion des Pendels definiert wird, auf Null und ¨andern den Initialzustand des Pendels auf x0 = [ π2 , 0]T . Wie verh¨ alt sich das Pendel? Hinweis: pi ist Bestandteil von numpy ¨ (d) Andern Sie die Ausgangsfunktion pendulum out des Pendels, sodass der Winkel in Grad ausgegeben wird. 2. Simulation eines Traktors (a) Verwenden Sie die Funktion nlsim(), um den Traktor aus Kapitel 2.2 des Skripts zu simulieren. Der Zustand des mit konstanter Geschwindigkeit fahrenden Traktors ist gegeben durch     x1 x-Position der Hinterachse  = x2  . y-Position der Hinterachse x= Orientierungswinkel der Hinterachse x3 Der Traktor kann mit folgender ODE beschrieben werden   V cos(x3 ) x˙ = f (x, u) =  V sin(x3 )  , V L tan(u) wobei der Eingang u der Lenkwinkel der Vorderachse ist. Simulieren Sie das System f¨ ur V = 0.5, L = 1.5, x0 = [0, 0, 0]T und einen konstanten Lenkwinkel von u = 1. Als Ausgabe betrachten Sie nur die Position des Traktors, d.h. nur die ersten beiden Zust¨ ande. Verh¨ alt sich der Traktor wie er soll? Bei konstantem Lenkwinkel sollte er im Kreis fahren. 1