1/9 = 111…111(n 個）を [ n] で表す。たとえば [1

２素因数３の個数と論証
自然数 n に対し、10n − 1/9 = 111…111(n 個）を [n] で表す。たとえば [1] = 1,[2] =
11,[3] = 111 である。
(1)m を 0 以上の整数とする。[3m ] は 3m で割り切れるが、3m+1 では割り切れない
ことを示せ。
(2)n が 27 で割り切れることが、[n] が 27 で割り切れるための必要十分条件である
ことを示せ。
解法１
一般に、自然数 a の十進法表示を
an・10 n + an−1・10n−1 + … + a1・10 + a0
としたとき、二項展開を用いると
a = an (9 + 1)n + an−1 (9 + 1)n−1 + … + a1 (9 + 1) + a0
= (9 の倍数) + (an + an−1 + … + a1 + a0 )
よって、次の（＊）、（＊＊）が成り立つ。
・a が 3 の倍数である ⇐⇒ 各位の数の和が３の倍数である …（＊）
・a が 9 の倍数である ⇐⇒ 各位の数の和が９の倍数である …（＊＊）
(1) 命題 M：[3m ]= 1 は 3m で割り切れるが,3m+1 で割り切れない。
これを 0 以上の整数 m についての数学的帰納法で示す。
I [30 ]= 1 は 30 = 1 で割り切れるが、31 = 3 で割り切れない。
よって m = 0 のとき命題Ｍは成り立つ。
k
103 − 1
k
II 0 以上のある整数 k に対して [3 ]=
は 3k で割り切れるが、3k+1 で割り
9
切れないと仮定する。
k
k
k+1
(103 )3 − 1
103 − 1
103 − 1
k
k
k+1
=
=
{(103 )2 + 103 + 1}
[3 ] =
9 k
9
9
k
において、(103 )2 + 103 + 1 はその各位の数の和が 3 であるから、(*),(**) によ
k
103 − 1
2
り,3 で割り切れるが、3 で割り切れない。このことと、
は 3k で割り切れ
9
るが、3k+1 で割り切れないことから、素因数 3 の個数に注目して [3k+1 ] は 3k+1 で
割り切れるが、3k+2 で割り切れない。
以上 I,II から,0 以上のすべての整数 m について命題Ｍが成り立つ。
（証明終）
(2)I (十分性)n が 27 の倍数であるとする。
n-27k(k は自然数) とおけて
(1027 )k − 1
1027 − 1
10n − 1
=
=
{(1027 )k−1 + (1027 )k−2 + … + 1027 + 1}
9
9
9
1027 − 1
10n − 1
3
(1) より、[3 ] =
は 27 で割り切れ、[n] =
も 27 で割り切れる。
9n
9
10 − 1
II （必要性）[n] =
が 27 で割り切れるとする。
9
[n] = 111…111(n 個) は 9 の倍数であるから、(**) より n は 9 の倍数となり、
1
n=9j(j は自然数) とおけて
(109 )j − 1
109 − 1
109j − 1
[n] =
=
=
{(109 )j−1 + (109 )j−2 + … + (109 ) + 1}
9
9
9
109 − 1
2
ここで、(1) より、[3 ] =
は 32 で割り切れるが 33 では割り切れないから
9
(109 )j−1 + (109 )j−2 + … + 109 + 1 が 3 で割り切れる。
(109 )j−1 + (109 )j−2 + … + 109 + 1 の各位の数の和は j であるから、
（＊）により、j は 3 の倍数である。ゆえに n = 9j は 27 で割り切れる。
以上 I, II より n が 27 で割り切れることが [n] が 27 で割り切れるための必要十分
条件である。（証明終）
解法２
(1) は解法 1 に同じ
＜二項展開を利用する解法＞
（十分性）n が 27 の倍数であるとする。
10n − 1
(1027 )k − 1
n = 27k(k は自然数) とおけて、
=
…（１）
9
9
1027 − 1
[33 ] =
は 33 で割り切れるので、適当な自然数 j を用いて、
9
1027 − 1
= 27j と書ける。
9
よって、
1027 = 9・27j + 1 = 35 j + 1
k
∑
5 i
(1027 )k − 1 = (35 j + 1)k − 1 =
k C i (3 j)
i=1
この右辺は 35 j で割り切れるので、適当な自然数 a を用いて
(1027 )k − 1 = 35 ja…（２）
10n − 1
[n] =
は 27 で割り切れる。
9
II(必要性)[n] = 111…111(n 個) が 27 で割り切れるとする。
[n] は 9 の倍数であるから、（＊＊）より n は 9 の倍数となり、n = 9j(j は自然数
) とおけて
10n − 1 = (32 + 1)9j − 1
9j
∑
2 i
= 9j C 1・32 + 9j C 2・(32 )2 +
9j C 1 (3 )
i=3
9j(9j − 1) 4
・3 + 36 b（b は自然数）
=3 j+
2
j(9j − 1) 6
4
=3 j+
・3 + 36 b…（３）
2
j
j(9j − 1)
は整数である (j が偶数のときはが整数、j が奇数のときは 9j−1 が
ここで
2
2
9j − 1
偶数なので
が整数）。
2
j(9j − 1)
よって、
= c とおくと、（３）から
2
4
2
10n − 1 = 34 j + 36 (b + c)
したがって
10n − 1
[n] =
= 32 j + 34 (b + c)
9
一方、仮定により、[n] = 27d（d は自然数）とおけるので
32 j + 34 (b + c) = 27d すなわち j = 3d − 9(b + c)
ゆえに、j は 3 の倍数となり、n = 9j は 27 の倍数である。
以上 I 、II より、n が 27 で割り切れることが、[n] が 27 で割り切れるための必要十
分条件である。
（証明終）
3

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