2015 年 10 月 15 日
No.4
数学を学ぶ (微分積分 2)・授業用アブストラクト
§4. ２変数関数の極限と連続性
この節以降、２変数関数の微積分を学ぶ。そのための準備として、まず、２変数関数のグラ
フ、平面の２点間の距離、収束などの概念を説明する。次に、２変数関数の極限と連続性につ
いて概観する。
● 4 - 1 : 平面 R2
２つの実数の組 (a, b) 全体からなる集合を R2 によって表わす。幾
何学的には
R2
y
は平面を表わしていると考えられる。このため、R2
b
の要素 (a, b) を点と呼ぶことが多い。
(a, b)
x
(a, b), (c, d) ∈ R2 に対して、a ̸= c あるいは b ̸= d であれば、
a
(a, b), (c, d) は平面上の異なる 2 点を表わすから、
(a, b) ̸= (c, d) ⇐⇒ a ̸= c または b ̸= d
(4 - 1 a)
が成立する。
● 4 - 2 : 2 変数関数
D を R2 の空でない部分集合とする。D の中の各点 (x, y) に実数 f (x, y) をひとつずつ対応
させる規則 f が与えられているとき、この対応規則のことを D 上で定義された (2 変数) 関数
と呼ぶ。
例 4 - 2 - 1 単位円の内部 D = { (x, y) ∈ R2 | x2 + y 2 < 1 } の各点 (x, y) に対して、実数
√
f (x, y) = 1 − x2 − y 2 を対応させる規則 f は D 上の関数を定義する。これを
√
√
f (x, y) = 1 − x2 − y 2 ((x, y) ∈ D)
または
f (x, y) = 1 − x2 − y 2 (x2 + y 2 < 1)
のように書き表わす。
z
● 4 - 3 : 2 変数関数のグラフ
D 上で定義された２変数関数 f (x, y) の様子は、(x, y, z)座標空間内にグラフ
(a, b, f(a,b))
{ (x, y, f (x, y)) | (x, y) ∈ D }
を描くことによりある程度知ることができる。一般に、関
数 f (x, y) のグラフは、(x, y, z)-座標空間において、曲面を
x
描く。
例 4 -3 -1
R2 上の関数
f1 (x, y) = x2 + y 2 ,
f2 (x, y) = −x2 − y 2 ,
のグラフはそれぞれ次の図のようになる：
– 19 –
f3 (x, y) = x2 − y 2
(a, b)
y
f
f
f
これらのグラフを描くには、
• 実数 k を固定して平面 z = k によるグラフの切り口がどんな形かを調べ、
• その後で、k を動かすことにより全体像をつかむとよい。
平面 z = k によるグラフの切り口がわかりにくい場合には、平面 x = k による切り口を考
えたり、y = k による切り口を考えたりするとわかる場合もある。
● 4 - 4 : R2 における ε-近傍と点列の収束
R2 内の２点 P(a, b), Q(c, d) に対して、
√
PQ = (a − c)2 + (b − d)2
(4 - 4 a)
を P, Q 間の距離という。
平面 R2 内の点 (a, b) に対して、(a, b) からの距離が ε (> 0) より小さい点全体のなす集合
√
(4 - 4 b)
Uε (a, b) = { (x, y) ∈ R2 | (x − a)2 + (y − b)2 < ε }
を (a, b) の ε-近傍と呼ぶ。Uε (a, b) は (a, b) を中心とする半径 ε の円の内部を表わしている。
2
R2 内の点列 {(xn , yn )}∞
n=1 が点 (a, b) ∈ R に収束するとは、２点 (xn , yn ), (a, b) 間の距離
が、n → ∞ のとき、0 に収束するとき、すなわち、
√
lim (xn − a)2 + (yn − b)2 = 0
n→∞
となるときをいう。
● 4 - 5 : 2 変数関数の極限
f (x, y) を D ⊂ R2 上で定義された関数とし、点 (a, b) ∈ R2 は次の条件を満たしていると
する：
(4 - 5 a)
{
どんなに小さい ε > 0 に対しても、Uε (a, b)
の中に D に属する (a, b) 以外の点が存在する
(a, b) に収束するような、D 内の点列 {(xn , yn )}∞
n=1 (但し、(xn , yn ) ̸= (a, b)) の選び方によ
らずに、数列 {f (xn , yn )}∞
n=1 が一定値 α に収束するとき、その実数 α を、(x, y) を (a, b) に
近づけたときの f (x, y) の極限といい、
lim
f (x, y) = α
(x,y)→(a,b)
により表わす。
– 20 –
例 4 -5 -1
関数 f (x, y) =
x2
xy
+ y2
((x, y) ̸= (0, 0)) について、極限
lim
f (x, y) が存
(x,y)→(0,0)
在するかどうかを調べよ。
解；
まず、(x, y) を y 軸に沿って (0, 0) に近づけていく場合を考える。この場合の極限は
0·y
f (0, y) = 2
= 0 −→ 0
(y → 0)
0 + y2
である。次に、(x, y) を傾き m の直線 y = mx に沿って (0, 0) に近づけていく場合を考える。
この場合の極限は
x · mx
m
m
=
−→
(x → 0)
2
2
+ (mx)
1+m
1 + m2
1
である。特に、m = 1 にとれば、 lim f (x, x) = である。したがって、
x→0
2
1
lim f (x, y) = lim f (0, y) = 0 ̸= = lim f (x, x) =
lim f (x, y)
y→0
2 x→0
(x,y)→(0,0)
(x,y)→(0,0)
f (x, mx) =
x2
y=x
x=0
がわかる。これは、
lim
□
f (x, y) が定まらないことを意味する。
(x,y)→(0,0)
● 4 - 6 : 2 変数関数の連続性
f (x, y) を D ⊂ R2 上で定義された関数とし、(a, b) ∈ D を条件 (4 - 5 a) を満たす点とする。
関数 f (x, y) が点 (a, b) ∈ D において連続であるとは、
lim
f (x, y) = f (a, b)
(x,y)→(a,b)
となるときをいう。f がすべての点 (x, y) ∈ D で連続であるとき、D 上で連続、あるいは単に
連続であるという。
例 4 -6 -1
関数
(4 - 6 a)
p(x, y) = x
((x, y) ∈ R2 )
は連続である。実際、任意の (a, b) ∈ R2 に対して、(a, b) に収束するような任意の点列
{(xn , yn )}∞
n=1 (但し、(xn , yn ) ̸= (a, b)) をとると、
√
|p(xn , yn ) − p(a, b)| = |xn − a| ≤ (xn − a)2 + (yn − b)2 −→ 0
となる。これは
lim
(n → ∞)
p(x, y) = p(a, b) を意味する。つまり、関数 p(x, y) は任意の点 (a, b)
(x,y)→(a,b)
で連続である。
同様にして、関数 q(x, y) = y ((x, y) ∈ R2 ) は連続であることがわかる。
□
１変数関数の極限の場合と同様に、D 上の関数 f (x, y), g(x, y) が (a, b) ∈ D で連続ならば、
４つの関数
f (x, y) + g(x, y),
f (x, y) − g(x, y),
f (x, y)g(x, y),
f (x, y)
g(x, y)
も (a, b) で連続である。但し、４番目の商についてはすべての (x, y) ∈ D について g(x, y) ̸= 0
を仮定する。
– 21 –
例 4 -6 -2
xy
((x, y) ̸= (0, 0)) は、連続関数
+ y2
p(x, y) = x, q(x, y) = y ((x, y) ̸= (0, 0))
関数 f (x, y) =
x2
の積、和、商として表されるので、連続である。このことから、例えば、(x, y) → (1, 2) とした
ときの極限が
lim
f (x, y) = f (1, 2) =
(x,y)→(1,2)
1·2
2
=
2
+2
5
12
□
のように計算できる。
– 22 –
2015 年 10 月 15 日
No.4
数学を学ぶ (微分積分 2) 演習問題 4
(x + 2y)2
((x, y) ̸= (0, 0)) について、次の各極限が存在するかどうか
x2 + y 2
を調べよ。存在する場合には、その極限も求めよ。
4-1. 関数 f (x, y) =
(1)
lim
f (x, y)
(2)
(x,y)→(0,0)
lim
f (x, y)
(x,y)→(2,2)
4-2. 次の 2 変数関数のグラフを描け。
1
((x, y) ̸= (0, 0))
(1) f (x, y) = 2
x + y2
(2) g(x, y) = sin y + 2
((x, y) ∈ R2 , −1 ≤ x ≤ 1)
– 23 –
数学を学ぶ (微分積分２) 通信
[No.4]
2015 年 10 月 15 日発行
■ 訂正
第 3 回のアブストラクト 16 ページに誤りがありました。10 行目に「(3 - 3 c) を関数 f (x) の」
という記述がありますが、正しくは「(3 - 3 d) を関数 f (x) の」です。申し訳けありませんが、各
自で修正をお願いします。なお、ホームページ上の pdf ファイルには修正版を載せてあります。
■ 列挙する数字の記述の仕方–カンマを忘れずに
第 2 回の学習内容チェックシート Q1 の最初の 2 つの設問に答えるとき、an ≤ bn (1, 2, 3, · · · · · · )
や an > 0 (n = 1, 2, 3, · · · · · · ) といった記述をすることになります。その際、
「3」の後ろのカン
マがないシートが沢山ありました。いくつか数字や文字を列挙したあと、まだ続くという意味
で · · · を書くわけですが、列挙の最後に記した数字や文字の後ろにカンマ “,” を書く必要があ
ります。
■ 演習 3-1(1) について
収束半径は 1/9 であるという解答が非常に多かったです。これは、
am = 9m (m =
a
m+1 0, 1, 2, · · · · · · ) とおいて lim を計算し、その逆数を答えとしたためですが、そのよう
m→∞ am
∞
∞
∑
∑
にしても正しい答えは得られません。なぜなら、与えられたべき級数
(3x)2m =
9m x2m
m=0
m=0
の奇数項は 0 であり、[定理 3 - 2 - 3] における条件 (3 - 2 b) を満たしていないからです。この問
題を解決するためには、講義で説明したように y = x2 とおき、与えられたべき級数を y を変
∞
∑
数とするべき級数
9m y m に書き換えます。::::::::::::::::::::::::::
このべき級数についてはすべての項が 0 でない
m=0
ので、[定理 3 - 2 - 3] を適用することができて、収束半径が
1/9 と求まります。y = x2 とおいて
::::::::::::
:::::
∞
√
∑
いたので、 x を変数とするべき級数
9m (x2 )m の収束半径は 1/9 = 1/3 になります。
m=0
なお、この問題のべき級数は初項が 1 で公比が 9x2 の等比級数の形をしているので、実数
x0 に対して収束するための必要十分条件は 9x20 < 1 となることであり、この不等式を解いて収
束半径が 1/3 という結果を導くこともできます。
■ 演習 3-2 について
関数の Maclaurin 級数展開はその関数を「無限に項が続く (ことも許した) 多項式」として表
∞
∑
わしたものである、という視点が重要です。したがって、演習 3-2 の解答は、
an xn , あるい
は、
∞
∑
n=0
bm
x2m
の形
(つまり、xn
の係数が何なのかがすぐに分かる形) に整理して答える必要
m=0
があります。
■ 次回予告
次回は偏微分の定義と計算方法を学びます。偏微分とは、x, y についての２変数関数に対し
て、片方の変数を定数とみなして微分することを意味します。
– 24 –
2015 年 10 月 15 日
数学を学ぶ（微分積分２）第４回・学習内容チェックシート
学籍番号
氏 名
Q1. R2 上の関数
f1 (x, y) = 2x2 + y 2 ,
f2 (x, y) = −x2 − y 2 + 1,
f3 (x, y) = x2 − y 2
のグラフをそれぞれ下の枠の中に描いてください。
f1 (x)
f2 (x)
f3 (x)
Q2. 次の表を完成させてください。ページ欄にはその言葉の説明が書かれているアブストラク
トのページを書いてください。
ページ
意味
点 (a, b) ∈ R2 の ε-近傍とは？ p.
R2 内の点列 {(xn , yn )}∞
n=1 が p.
(a, b) に収束するとは？
R2 の部分集合 D 上で定義
された関数 f (x, y) について p.
lim f (x, y) の意味は？
(x,y)→(a,b)
D ⊂ R2 上で定義された関数
f (x, y) が (a, b) ∈ D で連続で p.
あるとは？
D ⊂ R2 上で定義された関数 p.
f (x, y) が連続であるとは？
Q3. 連続関数の和、差、積、商が連続であることを用いて、関数
xy
f (x, y) = 2
((x, y) ∈ R2 )
x +1
が連続である理由を下の枠内に書いてください。
Q4. 第４回の授業で学んだ事柄について、わかりにくかったことや考えたことなどがありまし
たら、書いてください。
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