No.14「気体の法則」

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物理のこれだけはできないと「やばい」問題集
No.14
気体の法則編
"zl}g0/9
1
次の文章を読み，各問いに答えよ。
P0[Pa]の大気圧のもと，断面積 S[m2]で軽いピストンのついた密閉容器がある。各図での容器内の気体の
圧力を求めよ。ただし，重力加速度を g[m/s2]とする。
(1)
(2)
(3)
(4)
質量m[kg]
ばね定数k[N/m]
縮みA[m]
2
次の文章を読み，各問いに答えよ。
シリンダーに気密でなめらかに動くピストンをはめ，中には気体を密閉した。この気体を加熱させたり，
冷却させたりなどしてたところ，圧力と体積の関係は図のように，状態Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄと変化していった。
ただし，状態Ａでの温度は T[K]である。
可
不
圧力
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
3
状態ＡからＢの変化を何と言うか，答えよ。
状態ＢからＣの変化を何と言うか，答えよ。
状態ＣからＤの変化を何と言うか，答えよ。
状態Ｂでの気体の温度を求めよ。
状態Ｃでの気体の温度を求めよ。
状態Ｄでの気体の温度を求めよ。
4P
Ａ
Ｂ
Ｃ
載
Ｄ
4V
体積
次の文章を読み，各問いに答えよ。
容器内の理想気体の圧力が 1.66 × 105[Pa]，体積が 3.0 × 10-3[m3]，温度が 27[℃]のとき，次の値を
求めよ。たたし，気体定数を 8.3[J/mol･K]，アボガドロ定数を 6.0 × 1023 とする。
(1)
(2)
4
転
この気体の物質量を求めよ。
容器内の気体分子の総数を求めよ。
次の文章を読み，各問いに答えよ。
図のような体積 V[m3]の容器に，T[K]，P[Pa]の理想気体が入っている。容器を外部から温め，容器内に
ある気体は温度が常に T[K]で一定になるようにした。この状態でコックを開き，しばらく放置した後，コ
ックを閉じた。ただし，大気圧を P0[Pa]，気体定数を R[J/mol･K]，アボガドロ定数を NA とする。
(1)
(2)
コックを開く前の容器内の気体の物質量を求めよ。
コックを開いてから閉じるまでに，容器から出て行った気体の総数を求めよ。
コック
-1-
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5
次の文章を読み，各問いに答えよ。
図のような円形の容器ＡとＢが細いガラス管で連結され，ガラス管についたコックは閉じたままである。
容器Ａの体積は V[m3]，容器Ｂの体積は 3V[m3]であり，２つの容器には同じ物質量の理想気体が入ってい
る。今，容器Ａ内の気体の圧力は 3P[Pa]であり，容器Ａ，Ｂの温度はそれぞれ T，2T[K]になっている。
ただし，気体定数を R[J/mol･K]，アボガドロ定数を NA とする。
(1) 容器Ａ内の気体の物質量を求めよ。
(2) 容器Ｂ内の気体の圧力を求めよ。
次に，ガラス管についたコックを開き，容器全体が 2T[K]になるようにした。
(3) 容器Ａ，Ｂの圧力を求めよ。
コック
Ａ
Ｂ
【チャレンジ問題】
6
次の文章を読み，各問いに答えよ。ただし，気体定数を R[J/mol･K]とし，気球部の膨張
は考えなくて良い。
全体の質量が M[kg]の熱気球を上昇させる。気球部の体積を V[m3]，気球外部
の圧力を P0[Pa]，外気の密度を d0[kg/m3]，外気の温度を T0[K]とする。はじめ，
気球内の空気の温度は外気に等しく，この時，気球は地上で静止したままであった。
d
気球内の空気を加熱すると，気球の開口部から空気が逃げ出し，気球全体の重さが
小さくなる。これが浮力より小さくなると気球は浮き始める。ただし，高度による
外気の圧力，温度の変化は考えないものとする。
d0
P0
可
不
V
(1) 気球内の空気が外気と等しいとき，気球内の空気の質量を求めよ。
(2) 気球に働く浮力を求めよ。
気球内の空気の温度が T[K]で浮き始めた。
(3) 気球内の空気の密度 d[kg/m3]を d0 等を用いて表せ。
(4) T を M，d0，V，T0 を用いて表せ。
載
7
次の文章を読み，後の問に答えよ。【０９徳島大改題】
（図１）のように，なめらかに動くピストンでＡ，Ｂの２つの室に分けられた容器があり，Ｂ室はコック
のついた容積が無視できる細い管でＣ室につながっている。全ての容器，コック，管およびピストンは断熱
材でつくられていて，各室には同種の単原子分子からなる理想気体が入っている。Ａ室の気体の物質量を n
[mol]とする。気体定数を R[J/mol･K]として以下の問に答えよ。
転
[1] （図１）に示すように，最初コックは閉じてあり，Ａ，ＢおよびＣ
室の気体はいずれも V[m3]であり，各室の温度はそれぞれ T，T，2T
[K]，また，Ａ室の気体の圧力は p[N/m2]であった。
問１
問２
Ａ
p を n，R，T および V を用いて表せ。
Ｂ室の気体の物質量 nB[mol]を n を用いて表せ。
[2] 次に，コックを静かに開けるとＢ，Ｃ室間で気体が混ざり合い，十
分な時間が経過したのち（図２）に示すような平衡状態となった。こ
のとき，Ａ室間の体積は V/2，圧力は 4p，ＢおよびＣ室内の温度は
5T/3 になった。
問３
問４
問５
コック
Ａ室の気体の温度を T を用いて表せ。
Ｂ，Ｃ室内の気体の物質量を n を用いて表せ。
コックを開ける前のＣ室内の気体の圧力を p を用いて表せ。
Ｃ
Ｂ
（図１）
Ａ
Ｃ
Ｂ
（図２）
-2-
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1
□■物理的思考■□
圧力の定義は単位面積当たりに働く力なので，S[m2]に F[N]の力が働いているとき，圧
F
力 P は，P= となる。この式を変形すると，F=PSとなり，圧力から力を計算することが
S
できる。
P0S
(1) ピストンに働く力のつり合いから，
PS=P0SÛP=P0[Pa]
(2) ピストンに働く力のつり合いから，
PS=P0SÛ P=P0
(3) ピストンに働く力のつり合いから，
mg
PS=P0S+mgÛP=P0+
S
(1)
(4)
(3)
ピストンに働く力のつり合いから，
kA
PS=P0S+kAÛP=P0+
S
(2)
P0S
PS
PS
P0S
定圧変化
(2)
等温変化
(3)
定積変化
PS
可
不
P0S
mg
PS
2
(1)
(4)
載
kA
PV
=一定）より，状態Ｂ～Ｄの温度をそれぞれ TＢ，TＣ，TＤとすると，
T
4P× V 4P× 2V 2P× 4V P× 4V
=
=
=
T
TＢ
TＣ
TＤ
(4 ～ 6)
ボイルシャルルの法則（
これを解くと，
TＢ=2T,TＣ=2T,TＤ=T[K]
転
□■物理的思考■□
（ p-v）グラフがどのようになるかはボイルシャルルの法則（
PV
=一定）を使って考え
T
ればよい。温度が一定の場合，ボイルシャルルの法則の分母が一定となるため，PV=一定と
なる。右辺の定数を k とおくと，
k
P=
V
となり，反比例のグラフになることが分かる。これより，状態Ｂから状態Ｃの変化が等温変
化であることが分かるのである。
3
(1) 物質量を n として，状態方程式（PV=nRT）より，
1.66× 105× 3.0× 10-3=n× 8.3× (27+273)Û n=0.20[mol]
(2) 気体分子 1[mol]でアボガドロ数個あるので，
0.30× (6.0× 1023)=1.8× 1023
-3-
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4
物質量を n として，状態方程式（PV=nRT）より，
PV
PV=nRTÛn=
[mol]
RT
(1)
(2) コックを開いたことで気体が拡散し，大気圧 P0 と等しくなったと考えられる。したがって，容器に残
っている気体の物質量を n'として，状態方程式（PV=nRT）より，
P0V
P0V=n'RTÛn'=
RT
これより，容器から出た気体の物質量は n-n'となるので，容器から出た気体の総数は，
(P-P0)VNＡ
(n'-n)× NＡ=
RT
5
物質量を n として，状態方程式（PV=nRT）より，
3PV
3PV=nRTÛn=
[mol]
RT
(1)
容器Ａの気体と同じ物質量であることを利用して，状態方程式（PV=nRT）より，
3PV
P'3V=(
)R(2T)ÛP'=2P[Pa]
RT
(2)
可
不
求める圧力を P"として，状態方程式（PV=nRT）より，
6PV
P"(4V)=(
)R(2T)ÛP"=3P
RT
(3)
6
密度と体積の積から d0V[kg]と分かる。
(1)
載
(2) アルキメデスの原理から，気球部にもともとあった空気の重力が浮力となることから，d0Vg[N]と分
かる。
(3)
気球部の空気について，ボイルシャルルの法則（
PV
=一定）より，
T
転
P0V P0V'
T
=
V
ÜV'=
T0
T
T0
T
体積が
倍になっていることから，密度はその逆数倍になるので，
T0
T0
d0
T
(4)
浮き始めることから，気球に働く気球部の空気を含んだ重力と浮力のつり合いより，
T0
d0V
Mg+ d0Vg=dVgÛT=
T0
T
dV-M
7
状態方程式（PV=nRT）より，
nRT
p=
V
問１
問２なめらかに動くピストンが静止しているので，ＡとＢの圧力は等しくなっている。これと問１より，
状態方程式（PV=nRT）より，
nRT
V
V
nＢ=
=n
RT
-4-
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求める温度を T'として，ボイルシャルル則（
問３
PV
=一定）より，
T
V
4p
pV
2
=
ÛT'=2T
T
T'
求める物質量を n'として，状態方程式（PV=nRT）より，
5V
5T
6pV
4p
=n'R
=6n （∵問１）
Ûn'=
2
3
RT
問４
問２と問４の結果から，Ｃには 5n[mol]の気体が入っていたことが分かる。状態方程式（PV=nRT）
より，
5nR(2T)
p'=
=10p（∵問１）
V
問５
可
不
載
転
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