ラグランジュの運動方程式

ラグランジュの運動方程式
1
ラグランジュ関数
L  T U
T: 運動エネルギー
U: ポテンシャルエネルギー
注意：全エネルギーEは、
E=T+U
符号に注意。 
Lは、ある座標 q とその時間微分q
の関数
2
ラグランジュ方程式
L  T U
T: 運動エネルギー
U: ポテンシャルエネルギー
ある座標qに関して、次の方程式が成立する。
（摩擦力などのない場合）


d  L  L


0

dt   q  q


qはx, y, zでも角度でもよい。
一般的な証明は複雑なので、
具体例を見てみます。
3
例1


d  L  L


0

dt   q  q


L  T U
重力場内での３次元の運動
2
2
2
mx
my
mz
T


2
2
2
問１
問２
問３
U  mgz
Lを求めよ。
L などと L などを求めよ（全部で６個）

x
x
ラグランジュ方程式に代入して
運動方程式を求めなさい。
4
例1の解答
問3
2
2
mx my mz
L  T U 


 mgz　2
2
2
問１
問２
2
L


 mx
x
L
0
x
L


L
my

y
L
0
y

d  L  L

mx 0

dt   x  x

mz
z
L
 mg
z

my0

m z  mg  0
5
例2


d  L  L


0

dt   q  q


1次元の単振動
2
mx
T
2
問１
Lを求めよ。
問２
L

と
を求めよ。
x
x
問３
L  T U
2
kx
U
2
L
ラグランジュ方程式に代入して
運動方程式を求めなさい。
6
例2の解答
2
m x kx2
L  T U 

2
2
問１
L
問２

mx
x
問３

L
 kx
x

d  L  L

 m x  kx  0

dt   x  x

m x  kx
7
ラグランジュの方程式を導く方法
作用
action
t1

S   L(q, q)dt
S  0
L  T U


d  L  L


0

dt   q  q


t0
始点と終点を固定して、経路を
変化させる。
を仮定すると、ラグランジュの方程式が導かれる。
S  0 からラグランジュの方程式を導け。
問題
ヒント：部分積分を使う。
部分積分
積の微分

 fg   f g  fg

f g   fg   fg 
両辺を積分する




f
gdx

fg

f
g

 dx
高校の数学の
復習
t1
解答
t1

t1
S   L(q, q)dt

δ S  δ  L(q, q)dt   δ L(q, q)dt
t0
L
L 
δ L ( q, q )  δ q   δ q
q
q

t0

t0
 L


L
を使うと、 δ S   δ q   δ q dt
t  q

0
q 

t1
1
t1 



 L  


L
d


  δ q dt


δ
q
dt

δ
q

t       t  dt    
0 q

   q  t0 0    q  
第２項に部分積分を使う。 t  L

t
1

 L  

L
d
端は固定なので、第１項は消える。


δ S         δ qdt
q dt   q  
t0 
 

t1
これが任意の
δ q に対して成り立つためには、
L d  L 
   0
q dt   q 
 
d  L  L
 0
 

dt   q  q
 
束縛がある場合の
ラグランジュの運動方程式
11
拘束条件の例
constraint
d
θ
長さや角度を一定の値に保つ。
ラグランジェの乗数法を使う。
-> 次のページで見る。
restraint
長さや角度をなるべくある範囲に保つ。
バネポテンシャルを使うことが多い。
12
拘束がない場合は
ある関数F(x, y)が極値を持つには、
δF  0
δ
変分：小さな変化
F
F
δ F ( x, y)  δ x  δ y  0
x
y
この式がどんな δ x , δ y に対しても
F
成立するためには、 F  0　0
x
かつ
y
x,yの間に別の式が成立する場合は、
δ x と δ y は独立に動かせない。
13
拘束がある場合
xとyの間に g(x,y)=0が成立する場合、
G( x, y,  )  F ( x, y) λg ( x, y) とおく
λ
ラグランジュの未定乗数
 F
G
G
G
g 
g 
 F
G( x, y,  )  δ x  δ y  δ       δ x      δ y  g δ 
x
y

x 
y 
 x
 y
F
g
F
g
g 0
 0
  0
y
y
x
x
次のページに具体例。
例
条件付き極値
g ( x, y)  2x  y  1  0
F ( x, y)  x  y
2
2
の条件の下で
が極値を取る時のx,y,λを
求めよ。
(1) G( x, y)  F ( x, y) λg ( x, y) を書け。
(2) F g
   0 F   g  0 g  0 を具体的に書け。
x
x
y
y
(3) x,y,λを求めよ。
(4) 可能なら図示せよ。
解答
F ( x, y)  x  y
2
2
F
g
   2 x  2  0
x
x
2
1
2
x   , y  , 
5
5
5
g ( x, y)  2x  y  1  0
F
g
   2y    0
y
y
y
x
0
1
分子の場合
G( x, y)  F ( x, y) λg ( x, y)
ハミルトンの運動方程式
18
ラグランジュ関数
L  T U
復習
ラグランジアンとも言う
T: 運動エネルギー
U: ポテンシャルエネルギー

Lは、ある座標 q とその時間微分 q の関数
ラグランジュ方程式
d  L  L


0

dt   q  q


（摩擦力、束縛などのない場合）
qはx, y, zでも角度でもよい。
19
共役運動量
pi 
L

 qi

L(qi , q i , t )
ハミルトン関数
ハミルトニアンとも言う

H (qi , pi , t )   pi q i  L
pi 
1自由度なら

H (q, p, t )  p q L
q,p,tの関数
p
L

q
L

 qi
問題1
重力場内での３次元の運動に関して、
2
2
2
mx my mz
L


 mgz　2
2
2
問１
問２
x,y,zの共役運動量pxなどを求めよ。
ハミルトン関数Hを求めよ。
L
pi  

H   pi q i  L
 qi
注意：Hはqとpの関数
22

Download Report