例題 40.(改) 次の行列の固有値，固有ベクトルを求め，さらに変換行列 P を求めて P −1 AP により A を対角化せよ．
[
]
0 2 2
−2 2 4
−2 1
(1) A =
(2) A = 2 −1 0 (3) A = −2 3 2
−4 3
2 0 1
−2 1 4
注） n 次の正方行列 A に対して
(i) すべて異なる n 個の固有値 λ1 , λ2 , · · · , λn を持つならば，P −1 AP で A を対角化できる．
(ii) λ1 , λ2 , · · · , λr (r < n) が異なる固有値で
dim Wλi = (λi の重複度)
(i = 1, 2, . . . , r)
が成り立つならば，P −1 AP で A を対角化できる．ここで，Wλi は固有値 λi の固有空間．
(解）(1) A の固有方程式は
¯
¯
¯−2 − t
1 ¯¯
¯
fA (t) = |A − tE2 | = ¯
¯ = (t + 2)(t − 3) + 4
¯ −4
3 − t¯
= t2 − t − 2
= (t + 1)(t − 2) = 0
これより A の固有値は λ1 = −1, λ2 = 2 で固有値はすべて異なるから，
[ ]
[ ] A の対角化は可能である．この固有値 λ1 =
x1
x2
−1, λ2 = 2 に対する固有ベクトルをそれぞれ x1 =
, x2 =
とおく．
y1
y2
λ1 = −1 のとき，Ax1 = λ1 x1 ⇔ (A − λ1 E2 )x1 = 0 より
[
] [
]
[
]
[
]
−2 − (−1)
1
−1 1
−1 1
1 −1
A−λ1 E2 = A−(−1)E2 =
=
→
→
∴ x1 −y1 = 0 ⇔ x1 = y1
−4
3 − (−1)
−4 4
0 0
0 0
ここで y1 = k1 （0 でない任意の値）とおくと， x1 = k1
[ ] [ ]
[ ]
x1
k1
1
∴ x1 =
=
= k1
y1
k1
1
（k1 ：0 でない任意の値）
λ2 = 2 のとき，Ax2 = λ2 x2 ⇔ (A − λ2 E2 )x2 = 0 より
[
] [
]
[
]
[
]
−2 − 2
1
−4 1
−4 1
1 − 41
=
→
→
A − λ2 E2 = A − 2E2 =
−4
3−2
−4 1
0 0
0 0
1
1
∴ x2 − y 2 = 0 ⇔ x2 = y 2
4
4
ここで y2 = k2 （0 でない任意の値）とおくと， x2 = 14 k2
[ ] [
]
[ ]
1
x2
k
1
k
2
2
∴ x2 =
= 4
=
（k2 ：0 でない任意の値）
4
y2
k2
4
[ ]
[ ]
1
1
これより，それぞれの固有ベクトルとして，x1 =
, x2 =
を選んで（注：出来るだけ簡単な形のものを選ぶ）
1
4
[
]
[
] [
]
1 1
λ1 0
−1 0
−1
並べた行列を P = [x1 x2 ] =
とおくと，P AP =
=
と A は対角化される．
1 4
0 λ2
0 2
(2) A の固有方程式は
¯
¯
¯0 − t
2
2 ¯¯
¯
¯
¯
fA (t) = |A − tE3 | = ¯ 2
−1 − t
0 ¯ = −t(t + 1)(t − 1) + 4(t + 1) + 4(t − 1)
¯
¯
¯ 2
0
1 − t¯
= −t(t2 − 9)
= −t(t + 3)(t − 3) = 0
これより A の固有値は λ1 = −3, λ2 = 0, λ3 = 3 で固有値はすべて異なるので対角化可能である．この固有値 λ1 =
x1
x2
x3
−3, λ2 = 0, λ3 = 3 に対する固有ベクトルをそれぞれ x1 = y1 , x2 = y2 , x3 = y3 とおく．
z1
1
z2
z3
λ1 = −3 のとき，Ax1 = λ1 x1 ⇔ (A − λ1 E3 )x1 = 0 より
A − λ1 E3 = A − (−3)E3
1
→ 0
0
2
0
0
1
2
−4 → 0
0
0
3
0 − (−3)
2
2
=
2
−1 − (−3)
0
= 2
2
0
1 − (−3)
2
{
0 2
x1
+2z1 = 0
⇐⇒
1 −2 ∴
y1 −2z1 = 0
0 0
2
2
0
1
0 → 2
4
2
2
0
2
0
2
0
4
x1 = −2z1 , y1 = 2z1
ここで z1 = k1 （0 でない任意の値）とおくと， x1 = −2k1 , y1 = 2k1
x1
−2k1
−2
∴ x1 = y1 = 2k1 = k1 2
z1
k1
1
（k1 ：0 でない任意の値）
λ2 = 0 のとき，Ax2 = λ2 x2 ⇔ (A − λ2 E3 )x2 = 0 より
0
A − λ2 E3 = A − 0E3 = A = 2
2 0
→ 0 0
0 1
1
1 0
0 → 0 1
1
0 0
2
1
2 2
2 −1 0
2 −1 0
−1 0 → 0 2 2 → 0 2 2
0 1
2 0 1
0 1 1
{
2
1
0
∴
x2
y2
+ 21 z2
+z2
=0
1
⇐⇒ x2 = − z2 , y2 = −z2
2
=0
ここで z2 = k2 （0 でない任意の値）とおくと， x2 = − 12 k2 , y2 = −k2
1
−1
x2
− 2 k2
k2
∴ x2 = y2 = −k2 =
−2
2
k2
2
z2
（k2 ：0 でない任意の値）
λ3 = 3 のとき，Ax3 = λ3 x3 ⇔ (A − λ3 E3 )x3 = 0 より
0−3
2
2
−3 2
2
−1
A − λ3 E3 = A − 3E3 = 2
−1 − 3
0 = 2 −4 0 → 2
2
0
1−3
2
0 −2
2
{
1 2 −2
1 0 −1
x3
−z3 = 0
→ 0 1 − 12 → 0 1 − 12 ∴
⇐⇒ x3 = z3 ,
1
y
−
=0
3
2 z3
1
0 1 −2
0 0 0
−2 2
−1 −2
−4 0 → 0 −8
0 −2
0 −4
y3 =
2
4
2
1
z3
2
ここで z3 = k3 （0 でない任意の値）とおくと， x3 = k3 , y3 = 12 k3
x3
k3
2
1 k3
∴ x3 = y3 = 2 k3 =
1
2
z3
k3
2
（k3 ：0 でない任意の値）
−2
−1
2
これより，それぞれの固有ベクトルとして，x1 = 2 , x2 = −2 , x3 = 1 を選んで（注：出来るだけ簡単な形
1
2
2
−2 −1 2
λ1 0
0
−3 0 0
なものを選ぶ）並べた行列を P = [x1 x2 x3 ] = 2 −2 1 とおくと，P −1 AP = 0 λ2 0 = 0 0 0 と
1
2 2
0
0 λ3
0 0 3
A は対角化される．
2
(3) A の固有方程式は
¯
¯−2 − t
¯
¯
fA (t) = |A − tE3 | = ¯ −2
¯
¯ −2
¯
¯
¯
¯
¯ = (−2 − t)(3 − t)(4 − t) + 2 · 2 · (−2) + 4 · 1 · (−2)
¯
4 − t¯
2
3−t
4
2
1
−4(3 − t)(−2) − 2 · (−2)(4 − t) − (2 − t) · 1 · 2
= −t3 + 5t2 − 8t − 4
= −(t3 − 5t2 + 8t − 4)
= −(t − 1)(t − 2)2 = 0
これより A の固有値は λ1 = 1 (重複度 1), λ2 = 2 (重複度 2) である．この固有値 λ1 = 1, λ2 = 2 に対する固有ベクトル
x1
x2
をそれぞれ x1 = y1 , x2 = y2 とおく．
z1
z2
λ1 = 1 のとき，Ax1 = λ1 x1 ⇔ (A − λ1 E3 )x1 = 0 より
−2 − 1
2
4
−3
A − λ1 E3 = A − 1E3 = A − E3 = −2
3−1
2 = −2
−2
1
4−1
−2
{
−1 0 2
−1 0 2
1 0 −2
x1
→ 0
0 0 → 0 −1 1 → 0 1 −1 ∴
0
−1
1
0
0
0
0 0
0
2
2
1
4
−1 0 2
−1 0
2 → −2 2 2 → 0
2
3
0 −1 1
0 −1
−2z1
=0
−z1
=0
y1
2
−2
1
⇐⇒ x1 = 2z1 , y1 = z1
ここで z1 = k1 （0 でない任意の値）とおくと， x1 = 2k1 , y1 = k1
x1
2k1
2
∴ x1 = y1 = k1 = k1 1
（k1 ：0 でない任意の値）
z1
k1
1
これより，固有値 λ1 = 1 に対する固有空間 W1 は
2
W1 = k 1 | k は任意の値
1
(注：固有空間には零ベクトルも含まれる)
であり，次元は dim W1 = 1 = (λ1 の重複度) である．
λ2 = 2 のとき，Ax2 = λ2 x2 ⇔ (A − λ2 E3 )x2 = 0 より
−2 − 2
2
A − λ2 E3 = A − 2E3 = −2
3−2
−2 1 2
1
→ 0 0 0 → 0
0
0 0 0
−2
− 12
0
0
−1
0
0
1
4
−4
2 = −2
4−2
−2
2
1
4
0 0 0
2 → −2 1 2
1
2
0
0
0
1
1
∴ x2 − y2 − z2 = 0 ⇐⇒ x2 = y2 + z2
2
2
ここで y2 = k2 , z2 = l2 （k2 , l2 ：|k2 | + |l2 | 6= 0 なる任意の値）とおくと，x2 = 12 k2 + l2
1
1
1
1
x2
l2
2 k2 + l2
2 k2
k2
+
l
∴ x2 = y2 = k2 = k2 + 0 =
2
2 0
2
0
1
z2
l2
0
l2
これより，固有値 λ2 = 2 に対する固有空間 W2 は
1
1
W2 = k 2 + l 0 | k, l は任意の値
0
1
3
（k2 , l2 ：|k2 | + |l2 | 6= 0 なる任意の値）
(注：固有空間には零ベクトルも含まれる)
1
1
であり， 2 , 0 は 1 次独立であるから，次元は dim W2 = 2 = (λ2 の重複度) である．以上により，dim Wλi =
0
1
(λi の重複度) (i = 1, 2) が成り立ち，A の対角化は可能である．
2
1
1
λ1 = 1 の固有ベクトルとして x1 = 1 ，λ2 = 2 の固有ベクトルとして x2 = 2 , x02 = 0 を選び（注：出来る
1
だけ簡単な形のものを選ぶ），x1 ,
λ1
P −1 AP = 0
0
0
λ2
0
1
=
0 0
λ2
0
0
2
0
0
x2 , x2 を並べた行列を P = [x1 x2 x2 ] = 1
1
0 0
2 0 と A は対角化される．
0 2
問題 50. 次の行列を対角化せよ．
[
]
1
−4 −6
(1) A =
(2) A = 3
9
11
6
0
2
2
−1
3
3
1
2
2
0
1
2
0
1
1
0 とおくと，
1
(3) A = −1 −2 −1
1
1
0
(答) 問題集の答え
(p.113∼114) を下の様に訂正します．逆行列 P −1 は求めなくてよい．
:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::
[
] [
]
[
]
−1
−2
−1 −2
(1) 固有ベクトルとして出来るだけ簡単な
,
を選んで並べた行列を P =
とおくと,
1
3
1
3
[
]
2 0
−1
P AP =
と A は対角化される．
0 5
−1
−2
−1
−1 −2 −1
(2) 固有ベクトルとして出来るだけ簡単な 3 , 5 , 3 を選んで並べた行列を P = 3
5
3
0
2
2
0
2
2
1 0 0
とおくと, P −1 AP = 0 2 0 と A は対角化される．
0
0
3
−1
−1
2
−1
(3) 固有ベクトルとして出来るだけ簡単な 1 , 0 , −1 を選んで並べた行列を P = 1
0
1
1
0
−1 0 0
−1
とおくと，P AP = 0 −1 0 と A は対角化される．
0
0
1
4
−1 2
0 −1
1
1
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