Theoretische Physik: Elektrodynamik - Physik

Ferienkurs
Merlin Mitschek, Verena Walbrecht
17.03.2015
Ferienkurs
Theoretische Physik: Elektrodynamik
Vorlesung 2
Technische Universit¨at M¨unchen
1
Fakult¨at f¨ur Physik
Ferienkurs
Merlin Mitschek, Verena Walbrecht
17.03.2015
Inhaltsverzeichnis
3
Magnetostatik
3
3.1
Magnetfeld (magnetische Flußdichte, magnetische Induktion) . . . . . . . . . .
3
3.2
Feldgleichungen der Magnetostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
3.3
Magnetischer Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Technische Universit¨at M¨unchen
2
Fakult¨at f¨ur Physik
Ferienkurs
3
Merlin Mitschek, Verena Walbrecht
17.03.2015
Magnetostatik
3.1
Magnetfeld (magnetische Flußdichte, magnetische Induktion)
Definition Strom:
∆Q
∆t
I=
(1)
Definition Stromdichte:
I
∆F
F¨ur einen d¨unnen stromdurchflossenen Draht gilt:
j=
~j =
I d~l
·
∆F{z dl
|
}
⇒
(2)
~jd3 r = Idl
(3)
Volumenelement
In der Magnetostatik werden station¨are Stromdichten betrachtet: ~j(~r, t) = ~j(~r) und
F¨ur eine bewegte Ladungsdichte ρ(~r) ergibt sich:
~j(~r) = ρ(~r) · v(~r)
∂~j
=0
∂t
(4)
Kontinuit¨atsgleichung:
¨
Da die Ladung ist eine Erhaltungsgr¨oße (innere Symmetrie) ist, muss die Anderung
der elektrischen Ladung in einem endlichen Volumen pro Zeit gleich dem Strom durch die berandete
Oberfl¨ache sein:
Z
I
d
d2 r ρ(r) +
dF~ ~j(~r, t) = 0
(5)
dt V
F=∂V
Mit dem Gauß’schen Satz1 folgt die Kontinuit¨atsgleichung:
∂ρ(~r, t)
+ div~j(~r, t) = 0
∂t
(6)
div~j(~r) = 0
(7)
Im statischen Fall:
Biot-Savart-Gesetz:
Station¨are Str¨ome erzeugen ein zeitunabh¨angiges Magnetfeld B(~r), welches auf eine Testladung
q eine Kraft aus¨ubt:
~
F~ = q ~v × B
(8)
Betrachte: Stromdurchflossenen Leiter
Kraft, die auf ein Wegelement d~l am Ort ~r wirkt:
~ r) wobei dq ~v = Idt ~v = Id~l
dF~ = I d~l × B(~
(9)
Das Magnetfeld erzeugt den station¨aren Strom:
~ r) =
d B(~
1
R
V
d3 r
∂ρ(~r, t)
∂t
~r − ~r0
µ0
· Id~r0 ×
4π
|~r − ~r0 |3
(10)
+ div~j(~r, t) = 0
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F¨ur das gesamte magnetische Feld folgt dann:
~ r ) = µ0 I
B(~
4π
I
d~r0 ×
L
~r − ~r0
|~r − ~r0 |3
(11)
F¨ur einen unendlich ausgedehnten Leiter gilt:
~r(0, 0, z0 ), d~r0 = ~ez dz0 undpd~r × (~r − ~r0 ) = dz0 · (−y, x, 0). Somit folgt f¨ur das Magnetfeld mit der
Substitution ξ = z − z0 = x2 + y2 tan ψ:
 
 
Z π/2
−y Z ∞
−y
µ
I
1
µ
I




0 
0 
2
2
2
−3/2



~
 x 
 x 
dξ(x + y + ξ )
=
B(~r) =
dψ cos ψ
(12)
4π  0  −∞
4π  0  x2 + y2 −π/2
Das Ergebnis:
~ r ) = µ0 I
B(~
2π
 
−y
µ0 I ~eφ
 x  1
  x2 + y2 = 2π ρ
0
(13)
Kraft zwischen zwei parallelen Dr¨ahten:
F~12 = I2
Z
~ r (~r2 ) =
d~r2 × B
C2
µ0 I1 I2
=
2π
Z
   
 
0 0
1
    1
  µ0 I1 I2
dz2 0 × d 2 = − 0
L
   d
  2π
1
0
0
L
0
(14)
Parallele (antiparallele) Str¨ome ziehen sich an (stoßen sich ab).
Allgemein f¨ur zwei Stromschleifen:
µ0 I 1 I 2
F~12 =
4π
3.2
I I
L1
L2
d~r2 × [d~r1 × (~r2 − ~r1 )]
|~r2 − ~r1 |3
(15)
Feldgleichungen der Magnetostatik
¨
Ubergang
von (11) zu kontinuierlichen station¨aren Stromdichten:
~ r ) = µ0
B(~
4π
Z
~j(~r0 ) × (~r − ~r0 ) µ0 Z 3 0 0 ~j(~r ) × − grad 1
d r
=
d
r
4π
|~r − ~r0 |
|~r − ~r0 |3
3 0
(16)
~ r) · ~c = gradF(~
~ r) × ~c ergibt sich das Magnetfeld als Rotation:
Mit rot F(~
µ Z
~j(~r0 ) 0
~
B(~r) = rot
d3 r0
4π
|~r − ~r0 |
|
{z
}
(17)
~ r)
A(~
~ r) heißt Vektorpotential. Wegen B(~
~ r) = rotA(~
~ r) folgt die 3. Maxwellgleichung:
A(~
~ r) = 0
div B(~
(18)
Diese besagt, dass keine magnetischen Monopole existieren.
~ r) = 0 ist das Vektorpotential eine statische Stromverteilung und
In der Coulomb Eichung div A(~
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ist divergenzfrei.
Berechnung der Rotation des Magnetfeldes, liefert die Feldgleichung der Magnetostatik:
~ r) = µ0 ~j(~r)
rot B(~
(19)
Amper’sche Durchflutungsgesetz:
Mit dem Stoke’schen Satz:
I
"
"
~ r) =
~ r ) = µ0
d~r · B(~
dF~ · rot B(~
dF~ · ~j(~r) = µ0 IF
L=∂F
F
(20)
F
Beispiel: unendlich lange Spule
- N Windungen pro L¨ange L (sehr dicht)
- Stromdichte: ~j(~r) = ~eϕ NI
L δ(ρ − R)
Wegen der Zylindersymmetrie gilt:
 
 
Aρ (ρ)  x Aϕ (ρ) −y
~ r) = Aρ (ρ)~eρ +Aϕ (ϕ)~eϕ =
y+
 x  (21)
A(~
ρ 0
ρ  0 
~ r) = 0 folgt die Einschr¨ankung:
Aus divA(~
const
1 d
ρAρ (ρ) = 0 ⇒ Aρ (ρ) =
= 0 wg. A nicht divergent bei ρ = 0
ρ dρ
ρ
~ in seiner Form der Stromdichte ~j folgt, also: A(~
~ r) = A(ρ)ˆeϕ .
Somit ergibt sich, dass A
Wegen der Zylindersymmetrie des Problems muss gelten:
~ r) = A(ρ)~eϕ ⇒ rotA(~
~ r) = eˆ z B0 (ρ) + B(ρ)
A(~
ρ
(22)
(23)
W¨ahle als Fl¨ache F eine horizontale Kreisscheibe mit Radius ρ und Mittelpunkt auf der z-Achse,
somit folgt:
I
Z 2π
"
"
I
~ r) =
d~r B(~
dϕ ρB(ρ) = 2πρB(ρ) = µ0
dF~ · ~j =
dx dy 2 θ(R − ρ) (24)
πR
C
0
F
x2 +y2 <ρ2
Somit also:
µ0 I
B(ρ) =
2π
(
ρ
R2
1
ρ
innerhalb des Drahtes
außerhalb des Drahtes
(25)
Eingesetzt in (23) ergibt:
B(ρ) µ0 I
B (ρ) +
=
ρ
2π
0
(
2
R2
0
innerhalb des Drahtes
außerhalb des Drahtes
(26)
⇒
rot B(ρ)ˆez = −B0 (ρ)ˆeϕ
(27)
~ = rotA
~ folgt, dass
Aus B
~ = 1 d ρA(ρ)eˆ z
B
ρ dρ
Somit folgt die Differentialgleichung:
−B0 (ρ) = −
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µ0 NI
d 1 d
ρA(ρ) =
δ(ρ − R)
dρ ρ dρ
L
5
(28)
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Integration:
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µ0 NI 1 d
ρA(ρ) =
c1 − θ(ρ − R)
ρ dρ
L
B(ρ) =
(29)
Multiplikation mit ρ und ein weiteres mal integrieren:
µ0 NI c1 1 2
ρA(ρ) =
− (ρ − R2 )θ(ρ − R) + c2
L
2 2
(30)
Damit A(0) endlich ⇒ c2 = 0 und damit A(ρ → ∞) verschwindet ⇒ c1 = 1
Somit ergibt sich schließlich:
µ0 NI
A(ρ) =
L
ρ
(
R2
ρ
f¨ur ρ < R
f¨ur ρ > R
(31)
Mit dem magnetischen Feld:
~ r) = µ0 NI θ(R − ρ)~ez
B(~
L
3.3
(32)
Magnetischer Dipol
Betrachte: r¨aumlich lokalisierte station¨are Stromverteilung ~j(~r).
~ r) f¨ur große Abst¨ande.
Ziel: Berechnung des erzeugten Magnetfeldes B(~
Gegeben sei das Vektorpotential aus (17). Somit entwickle
1 ~r · ~r0
1
= + 3 + ...
0
|~r − ~r | r
r
(33)
Somit folgt f¨ur das Vektorpotential:
Z
Z
1
~ r ) = µ0 1
d3 r0 ~j(~r0 ) + 3
d3 r0 (~r · ~r0 )~j(~r0 ) + . . .
A(~
4π r
r
(34)
Aufgrund der Stromerhaltung div ~j = 0 verschwindet der Monopolterm. Weiterhin kann das
Vektorpotential mit ~r0 × ~j(~r0 ) × ~r = ~j(~r0 )(~r · ~r0 ) − ~r0 ~j(~r0 )~r umgeschrieben werden:
Z
~ r ) = µ0 1
A(~
d3 r0 ~r0 × ~j(~r0 ) × ~r
(35)
4π 2
Mit der Definition des magnetischen Dipolmomentes
Z
1
~ =
m
d3 r0 ~r0 × ~j(~r0 )
2
ergibt sich:
~ Dipol (~r) = µ0 m
~ × ~j(~r0 )
A
4π
(36)
(37)
~ = rotA
~ folgt hieraus das magnetische Feld eine Dipoles:
Mit B
~ Dipol = µ0 3ˆr(~
~
B
m · rˆ) − m
4πr3
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6
(38)
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Beispiel: ebene stromdurchflossene Drahtschleife
I
I
I
~ =
~r × d~r = · 2 · F · ~n
m
2 L
2
⇒
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~ = I · F · ~n
m
(39)
Bemerkung:
Der Drehimpuls und das magnetische Moment sind proportional zueinander:
~ =
m
Der Vorfaktor
Q
2M
Q ~
L
2M
(40)
wird als ayromagnetisches Verh¨altnis bezeichnet.
Kr¨afte auf lokalisierte Stromverteilungen:
Die Kraft, die auf eine lokalisierte Stromverteilung wirkt, ist:
~ · (~
~
F~ = ∇
m · B)
(41)
Weiterhin ist die Wechselwirkungsenergie zwischen magnetischen Moment und a¨ ußerem Magnetfeld:
~
W = −~
mB
(42)
~ bevorzugt.
~ und B
Somit wird eine Parallelstellung von m
Das Drehmoment auf einen magnetischen Dipol ist:
~ =m
~
~ × B(0)
M
(43)
Wechselwirkungspotential zweier magnetischer Dipole:
~ Dipol = −
W12 = −~
m2 B
1
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~ 1m
~2
~ 1 · (~r1 − ~r2 ) · m2 µ0 m
(~r1 − ~r2 ) · m
−
3
4π |~r1 − ~r2 |3
|~r1 − ~r2 |5
7
(44)
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