京大 85年数学

京大数学
京大
実数
灘進学教室
８５年
数学
http://nadasingaku.com
（すべて類題）
p , q （ q > 0 ）に対して、次の条件①、②を満たす三角形ＡＢＣが存在するための必要十分条件を求めよ。
BC = q
①
AB AC = p
②
【答案】
座標平面上でＢ ( 0 ,
0 ) 、Ｃ ( q , 0 )
とおき
条件①、②を満たす点Ａの座標をＡ ( a ,
b ) とする
条件②より
AB AC
∴
＝(
a 2 + b2
a
q
2
a,
aq = p
2
b) (q a ,
...
①
q2
+b = p+
4
2
b) = p
...
②
三角形ＡＢＣが存在するための条件は
①を満たす実数
a, b
が存在すること、すなわち
点Ａの軌跡である、中心
q
, 0
2
、半径
求める必要十分条件は
q2
p+
>0
4
すなわち
q2 + 4 p > 0
q2
p+
4
の円②が存在することであるから
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（すべて類題）
２
平面上の３点Ａ、Ｂ、Ｃと１次変換
f
について、次の３条件①、②、③を仮定する。
①
Ａ、Ｂ、Ｃは同一直線上にはなく、また原点Ｏは三角形ＡＢＣの内部には属さない。
②
３点Ａ、Ｂ、Ｃの
すなわち
③
f
f による像は、全体として、３点Ａ、Ｂ、Ｃに一致する。
{ f (A ) , f (B) , f (C) } = { A , B , C }
は恒等変換ではない。すなわち
このとき、３点Ａ、Ｂ、Ｃのうち
f
f
E
によって動かないものは、１つあって、１つに限ることを示せ。
３
2
+ 2 b x + c = 0 の２解を
b, c
は実数とし、 x
(1)
b2
c<0, b 0
(2)
f ( x ) = x 2 + 2 ( b 1) x + 5 c
(＊)
t, u
とする。
,
とすれば、いかなる複素数
=t
に対しても
+u
とおくとき、次の条件（＊）を満たす点
がともに実数なら、
f (t
となる実数
(b , c )
t, u
が存在することを示せ。
全体の集合
D
を決定し、図示せよ。
+u ) 0
４
実数
r
①
②
(1)
(2)
> 0 ）に対して、次の方程式①の定める球面と、②の定める平面の共通部分を D
x2 + y2 + z 2 = 1 ( r 2 + 2 )
3
x+ y+z=r
（r
点Ｐ、Ｑがともに
D
に属すれば、
PＱ ≦ 2 2
3
が成り立つことを示せ。
が自然数のとき、連立方程式①，②の整数解を決定せよ。
r
５
２枚の硬貨があり、１枚ずつ投げたとき表の出る確率をそれぞれ
２枚同時に投げたとき、表の出た硬貨の枚数を
したがって、確率変数
逆に
X
X
X
a, b
とする。
とする。
は値０、１、２をとり、その確率分布は
の分布を指定したとき、その分布を与えるような
a, b
a, b
により定まる。
の値が存在するかどうか、
また存在する場合には、どれだけあるか、次の２つの場合について答えよ。
(1)
X
は２項分布、すなわち
P ( X = k ) = 2 C k p k (1 p ) 2
k
( k = 0 , 1, 2 )
p ( 0 < p < 1 ) はあらかじめ指定した定数である。
X は一様分布、すなわち P ( X = k ) = 1 ( k = 0 , 1 , 2 )
3
ただし、
(2)
６
a （ a ≧ 0 ）および b が与えられている。
x ≧ 0 で定義された関数 y = f (x) で、次の２条件①、②を満たすものを決定せよ。
定数
①
f (x) は x ≧ 0 で連続、 x > 0 で微分可能
②
b
x
a
f (t ) dt = x f ( x)
とする。

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