問題PDF版

1
第
問
以下の命題 A,B それぞれに対し 1 その真偽を述べよ。また，真ならば証明を与え，
偽ならば反例を与えよ。
η3
命題 A
nが正の整数ならば，一一＋ 1
0
02n2が成り立つ。
, 26
一
命題 B
整数 n
, m, ￡が 5n+5m+3￡
=
1をみたすならば， lOnm+3m
￡+3
ηf
,<0
が成り立つ。
- 4-
）
く M3(171 4
3
)
第
2
問
座標平面上の 2点 A(-1
,1
)
, B(1
, -1
）を考える。また， P を座標平面上の点とし，
その z座標の絶対値は l以下であるとする。次の条件（i
）または（ i
i
）をみたす点 Pの
範囲を図示し，その面積を求めよ。
(
i）頂点の z座標の絶対値が 1以上の 2次関数のグラフで，点 A, P, B をすべて通
るものカまある。
(
i
i）点 A,P
, B は同一直線上にある。
6-
く
） M3
(1
7
1 4
5
)
3
第
問
tを座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする。さらに，以下の 3条件（i
)
,(
i
i
)
,
(
i
i
i）で定まる円 C
1
, C2を考える。
(
i）円 C
I
> C2は 2つの不等式 z三0
, yミ0で定まる領域に含まれる。
(
i
i）円 C
1
, C2は直線 tと同一点で接する。
(
i
i
i）円 C1は z軸と点（ 1
,0）で接し，円 C2は u軸と接する。
1，円 C2の半径を r
2 とする。 8
r
1+9
r
2が最小となるような直線 t
円 C1の半径を r
の方程式と，その最小値を求めよ。
e
y
C1
1
x
- 8-
。
M3(171-47
)
第
4
問
1
投げたとき表と裏の出る確率がそれぞれーのコインを l枚用意し，次のように左か
2
ら順に文字を書く。
コインを投げ，表が出たときは文字列 AA を書き，裏が出たときは文字 B を書く。
さらに繰り返しコインを投げ，同じ規則に従って， A A
, B をすでにある文字列の右
側につなげて書いていく。
たとえば，コインを 5回投吠その結果が順に表，裏，裏，表，裏であったとする
と，得られる文字列は，
AABBAAB
となる。このとき，左から 4番目の文字は B
, 5番目の文字は A である。
(
1
) nを正の整数とする。
η
回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左から
η
番
目の文字が A となる確率を求めよ。
(
2）η を 2以上の整数とする。
らη
η
回コインを投げ，文字列を作るとき，文字列の左か
−1番目の文字が A で，かつ η 番目の文字が B となる確率を求めよ。
- 1
0-
。
M3(171-4
9
)

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