Institut für Numerische und Angewandte Mathematik FB Mathematik und Informatik der Universität Münster Dr. Christoph Lehrenfeld, Dipl.-Math. Felix Schindler, Dipl.-Math. Christian Himpe 07.01.2016 Übung zur Vorlesung Numerik partieller Differentialgleichungen I WS 2015/16 — Blatt 10 Abgabe: 14.1.2016, vor der Vorlesung 1. Satz (Poincaré mit L2 (∂Ω)-Integral auf dem Rand) Seien Ω ⊂ Rd ein konvexes Lipschitzgebiet, u ∈ H m (Ω). Dann existiert eine Konstante C > 0, die nur von Ω und m abhängt, so dass gilt kuk2H m (Ω) ≤ C |u|2H m (Ω) + kuk2L2 (∂Ω) . Aufgabe 1 (Robin-Randbedingungen) (6 Punkte) Sei Ω ein konvexes Lipschitzgebiet und u ∈ C 2 (Ω̄) die starke Lösung zu dem Problem −∆u = 0 in Ω, − ∂u = α(u − g) auf ∂Ω ∂n mit α 1 und g ∈ C 0 (∂Ω). (a) Zeigen Sie, dass die starke Lösung auch schwache Lösung der Variationsformulierung a(u, v) := Z ∇u∇v + α Z ∂Ω Ω uv = α Z gv ∀ v ∈ H 1 (Ω) (1) ∂Ω ist. (b) Zeigen Sie, dass das Variationsproblem in (1) ein wohl gestelltes Problem ist in dem Hilbertraum H 1 (Ω) ausgestatt mit dem Skalarprodukt a(u, v). Zeigen Sie dafür zunächst, dass a(u, v) ein Skalarprodukt auf H 1 (Ω) definiert. (c) Die Gleichung (1) werde im Finite-Elemente-Raum Xh approximiert. Die FiniteElemente-Lösung sei uh ∈ Xh . Zeigen Sie, dass gilt 1 ku − uh kL2 (∂Ω) ≤ inf (ku − vh kL2 (∂Ω) + α− 2 k∇(u − vh )kL2 (Ω) ). vh ∈Xh Benutzen Sie hierzu die Beweis-Techniken aus dem Lemma von Céa. (d) Sei Ax = b das Gleichungssytem zur Finite-Elemente-Approximation. Zur Lösung der linearen Gleichungssysteme wird ein Diagonalvorkonditionierer verwendet. Zeigen Sie, dass gilt κ(A) . αh−1 + h−2 , aber für C = diag(A) gilt κ(C −1 A) . h−2 , d.h. dass der Diagonalvorkonditionierer robust ist in α. Verwenden sie hierbei die Annahme, dass gilt hT ' h ∀ T ∈ Th . 2. Definition Eine messbare Funktion g heißt schwache Divergenz von σ auf Ω ⊂ Rd , wenn gilt Z gϕ = − Z Ω Ω σ · ∇ϕ ∀ ϕ ∈ C0∞ (Ω). Der Funktionenraum H(div, Ω) is definiert als H(div, Ω) := {σ ∈ [L2 (Ω)]d : div(σ) ∈ L2 } mit der Norm kσk2H(div,Ω) := kσk2L2 (Ω) + kdiv(σ)k2L2 (Ω) . Aufgabe 2 (H(div, Ω)-konforme Finite Elemente Funktionen) (2* Punkte) Sei Th eine zulässige Triangulierung von Ω. Zeigen Sie, dass folgende Aussage gilt: Sei eine Funktion u ∈ L2 (Ω) gegeben mit u|T ∈ Pk (T ) für alle Elemente T ∈ Th . Darüber hinaus sei der Sprung in Normalenrichtung über jede Seitenfläche F ∈ Fh Null, [[u · n]]F = 0 ∀F ∈ Fh , wobei Fh die Menge aller inneren Seitenflächen im Gitter ist. Dann gilt global u ∈ H(div, Ω) und für die schwache Divergenz gilt für alle T ∈ Th , dass (divu)|T = gT wobei gT die schwache Divergenz zu u|T ist. Aufgabe 3 (inf-sup-Bedingung) (2 Punkte) Sei eine Bilinearform b : Vh × Wh → R gegeben mit N = dim(Vh ) und M = dim(Wh ). Sei B ∈ RM ×N die zugehörige Matrix mit Bi,j = b(ϕj , ψi ), i = 1, .., M, j = 1, ..N , wobei ϕj die Basisfunktionen von Vh und ψi die Basisfunktionen von Wh sind. Zeigen Sie, dass aus der diskreten inf-sup-Bedingung inf sup wh ∈Wh v ∈V h h wh 6=0 vh 6=0 b(vh , wh ) ≥ β3,h > 0 kvh kV kwh kW (2) folgt, dass N ≥ M und B vollen Zeilenrang hat. Zeigen Sie auch, dass aus der diskreten inf-sup-Bedingung b(vh , wh ) inf sup ≥ β2,h > 0 (3) vh ∈vh w ∈W kv k kw k h V h W h h vh 6=0 w 6=0 h folgt, dass M ≥ N und B vollen Spaltenrang hat. Hinweis: Eine Folgerung dieser Aussage ist: Wenn beide diskreten inf-sup-Bedingungen gelten, dann ist M = N und B eine reguläre Matrix. Außerdem gilt, dass wenn eine der beiden inf-sup-Bedingungen gilt und M = N ist, dass dann auch die andere inf-supBedingung gilt (da M = N und voller Spaltenrang auch vollen Zeilenrang impliziert (und umgekehrt)). Aufgabe 4 (Wohlgestelltheit des gemischten Poisson-Problems) (4 Punkte) (a) Sei Ω ein konvexes Gebiet. Zeigen Sie, dass für alle v ∈ L2 (Ω) gilt R div(σ)v ≥ ckvkL2 (Ω) σ∈H(div,Ω) kσkH(div,Ω) Ω sup Hinweis: Sei ϕ eine Lösung von −∆ϕ = v in Ω, ϕ = 0 auf ∂Ω und σ ∗ = −∇ϕ. Dann ist kϕkH 1 (Ω) ≤ ckvkL2 und es gilt σ ∗ ∈ H(div, Ω). (b) Sei Ω ein glatt berandetes Gebiet und α ∈ [L∞ (Ω)]d×d mit kαk2 ∈ [αmin , αmax ] f.ü. mit αmin , αmax ∈ R. Zeigen Sie, dass das folgende Problem für f ∈ L2 (Ω) wohlgestellt ist Z −1 α σ·τ + ZΩ Z div(τ )u ∀τ ∈ H(div, Ω) =0 Ω div(σ)v = Z Ω fv ∀v ∈ L2 (Ω) Ω und für die Lösung (σ, u) ∈ H(div, Ω) × L2 (Ω) die Stabilitätsabschätzung kσkH(div,Ω) + kukL2 (Ω) ≤ ckf kL2 (Ω) gilt. Aufgabe 5 (Verallgemeinerung des Lemmas von Céa) (4 Punkte) Zeigen Sie den folgenden Satz: Sei b(·, ·) : V × W → R stetig mit Konstante β1 , d.h. b(v, w) ≤ β1 kvkV kwkW ∀v ∈ V, w ∈ W, (4) und b(·, ·) genüge der diskreten inf-sup-Bedingung inf sup vh ∈Vh w ∈W h h vh 6=0 wh 6=0 b(vh , wh ) ≥ β2,h > 0. kvh kV kwh kW (5) mit Vh ⊂ V , Wh ⊂ W und dim(Wh ) = dim(Vh ). Sei weiter u ∈ V die Lösung des Variationsproblems b(u, v) = f (v), ∀ v ∈ W und uh ∈ Vh die Lösung des diskreten Variationsproblems b(uh , vh ) = f (vh ), ∀ vh ∈ Wh . Dann gilt die quasi-optimale Fehlerabschätzung ku − uh kV ≤ (1 + β1 /β2,h ) inf ku − vh k (6) vh ∈Vh Hinweis: Spalten Sie zunächst den Fehler u − uh in einen Fehlerterm in Vh und einen Approximationsfehler in V auf, um dann die inf-sup-Stabilität für den Fehlerterm in Vh auszunutzen.