参考資料「逆三角関数の定義」

基礎数学 1 の補助資料 (担当: 谷戸光昭)
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逆三角関数の定義
定義 1 (逆正弦関数).
−1 ≦ y ≦ 1 なる任意の実数 y を与える. このとき, y = sin x を満たす実数 x は無数に存在する.
(例えば, y = 12 ならば, 三角方程式 sin x = 12 のすべての解は x = π6 + 2nπ, 5π
6 + 2nπ (n は整数) である.)
ところが, − π2 ≦ x ≦ π2 の範囲に限ると, y = sin x となる実数 x はただひとつに決まる.
(例えば, y = 21 ならば, 三角方程式 sin x = 12 (ただし − π2 ≦ x ≦ π2 ) の解は x = π6 のみ.)
そこで, 任意の実数 y (ただし −1 ≦ y ≦ 1) に対して y = sin x となる実数 x (ただし − π2 ≦ x ≦ π2 ) を対応さ
せる規則を逆正弦関数といい, x = Arcsin y あるいは x = Sin−1 y と表す. 読むときはいずれもアークサインと
読む.
y = sin x (定義域 − π2 ≦ x ≦ π2 , 値域 −1 ≦ y ≦ 1)
⇐⇒ x = Arcsin y
(定義域 −1 ≦ y ≦ 1, 値域 − π2 ≦ x ≦ π2 )
(1)
x と y の文字を入れ替え, 次のように表すこともできる.
y = Arcsin x (定義域 −1 ≦ x ≦ 1, 値域 − π2 ≦ y ≦ π2 )
⇐⇒ x = sin y
(定義域 − π2 ≦ y ≦ π2 , 値域 −1 ≦ x ≦ 1)
(2)
定義 2 (逆余弦関数).
−1 ≦ y ≦ 1 なる任意の実数 y を与える. このとき, y = cos x を満たす実数 x は無数に存在する.
ところが, 0 ≦ x ≦ π の範囲に限ると, y = cos x となる実数 x はただひとつに決まる.
そこで, 任意の実数 y (ただし −1 ≦ y ≦ 1) に対して y = cos x となる実数 x (ただし 0 ≦ x ≦ π) を対応させる
規則を逆余弦関数といい, x = Arccos y あるいは x = Cos−1 y と表す. 読むときはいずれもアークコサインと
読む.
y = cos x
(定義域 0 ≦ x ≦ π, 値域 −1 ≦ y ≦ 1)
⇐⇒ x = Arccos y
(定義域 −1 ≦ y ≦ 1, 値域 0 ≦ x ≦ π)
(3)
x と y の文字を入れ替え, 次のように表すこともできる.
y = Arccos x (定義域 −1 ≦ x ≦ 1, 値域 0 ≦ y ≦ π)
⇐⇒ x = cos y
(定義域 0 ≦ y ≦ π, 値域 −1 ≦ x ≦ 1)
(4)
定義 3 (逆正接関数).
任意の実数 y を与える. このとき, y = tan x を満たす実数 x は無数に存在する.
ところが, − π2 < x < π2 の範囲に限ると, y = tan x となる実数 x はただひとつに決まる.
そこで, 任意の実数 y に対して y = tan x となる実数 x (ただし − π2 < x < π2 ) を対応させる規則を逆正接関数
といい, x = Arctan y あるいは x = Tan−1 y と表す. 読むときはいずれもアークタンジェントと読む.
y = tan x
(定義域 − π2 < x < π2 , 値域 −∞ < y < ∞)
⇐⇒ x = Arctan y
(定義域 −∞ < y < ∞, 値域 − π2 < x < π2 )
(5)
x と y の文字を入れ替え, 次のように表すこともできる.
y = Arctan x (定義域 −∞ < x < ∞, 値域 − π2 < y < π2 )
⇐⇒ x = tan y
(定義域 − π2 < y < π2 , 値域 −∞ < x < ∞)
(6)

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