No.3 [仕事と運動エネルギー]

物理学I
仕事の話
仕事の定義(簡単な場合)
物理量の一種。物体に加えた力が，物体の移動に対して
どれだけ貢献したかを示すスカラー量。
物体が真っ直ぐ動いて，一定の力が作用していたとする。
力 F~ がした仕事：W = F~ ·
~r = |F~ || ~r| cos ✓ で定義する
力の大きさ
F
F
移動距離
F
r
変位(位置の変化を表すベクトル)
仕事について
いくつかの典型的な例について調べる
=0
F
のとき
r
W = |F || r|
最大限の仕事の評価
加えた力は物体の動きを完全にサポートしている
=
F
のとき
r
W =
仕事の評価はマイナス
|F || r| < 0
この力は物体の動きを邪魔してしまっている→マイナス
=
のとき
2
F
r
W =0
加えた力は物体の動きをサポートも邪魔もしていない
仕事の単位
W =F·
r = |F || r| cos
[仕事]=[力] [移動距離]
よって，単位は，
[仕事]=N•m=kg•m2/s2
通常，この単位にはJ(ジュール)という別名をつけて使う。
1J=1kg•m2/s2
仕事の定義(一般の場合)
力が一定でないような場合は物体の動きを細切れにする
1コマ動く間は力が一定であると思えるくらい細かく切る
1コマ動くときに力がする仕事は
W ' F (xi ) cos ✓(xi ) x
と近似できる。F(xi)は力の大きさ。
θ(xi)は移動方向と力方向の角度。
全体の動きの中で力がする仕事は
X
W '
F (xi ) cos ✓(xi ) x
コマ切れの仕方を細かくするほど，近似はよくなる。
Z
X
W = lim
F (xi ) cos ✓(xi ) x = F (x) cos ✓(x)dx
x!0
例
x=0からx=Aまで，おもりが動く場合
F =
kx
x
0
ばねがする仕事は
A
W =
( kx)dx =
0
k 2
x
2
A
=
0
k 2
A
2
仕事の定義(一般の場合)
動きがまっすぐでないような場合も同様
1コマ動く間はまっすぐ動いていると思えるくらい細かく切る
F (ri )
ri
経路全体で力がする仕事は W '
W ' F~ (~ri ) ·
X
i
F~ (~ri ) ·
~ri
~ri
コマ切れの仕方を細かくするほど，近似はよくなる。
Z
X
W = lim
F~ (~ri ) · ~ri =
F~ (~r) · d~r
~
ri !0
i
C
物体の動きに沿って積分
2次元の運動(一般論)
W =
Z
F~ · d~r =
Z
(Fx dx + Fy dy)
d~r = (dx, dy)
物体の軌道に沿って積分する
物体の軌道: y = f (x)
df (x)
dy =
dx
dx
よって，Z
◆
Z ✓
df (x)
W = (Fx dx + Fy dy) =
Fx + Fy
dx
dx
例1
F~ = (2x + y, xy) という力がする仕事を考える
y
1
P
O→Pと動く場合
=
=
=
1
直線OP: y = x
x
2
O
2
◆
Z
Z ✓
dy
W = (Fx dx + Fy dy) =
Fx + Fy
dx
dx

Z 2
1
1
1
5 2 x3
=
2x + x + x ⇥ x ⇥
dx =
x +
2
2
2
4
12
0
y
y
dy
dx
2
0
17
=
3
例1
F~ = (2x + y, xy) という力がする仕事を考える
y
P
1
O→Pと動く場合
2
O
0

◆
dx

3
5 2
1 2
1 2 x
x
x
2
2x + x + x ⇥ x ⇥
dx = x +
+
4
4
2
12 40
=
2
dy
Fx + Fy
dx
=
=
Z
(Fx dx + Fy dy) =
Z ✓
=
W =
Z
x
x2
放物線OP: y = 4
y
y
dy
dx
0
82
=
15
仕事が経路に
よって変わる
例2：放物運動
速さv0，水平な地面からθの角度で
(0,0)から投げられた物体
(
x(t) = v0 t cos ✓
g 2
y(t) =
t + v0 t sin ✓
2
(0,0)から(X,Y)の位置まで移動する間に
重力 F~ = (0, mg) がする仕事を求める
y
Y
F~
X
x
例2:放物運動
W =
Z
F~ · d~r =
Z
(Fx dx + Fy dy) を計算する
この場合は
F~ = (0, mg) だから，
W =
Z
Y
( mg)dy =
mgY
0
y方向の動きに対してだけ重力は仕事をする
(x方向の動きに対する仕事は常に0)
物体がする仕事
ここまでは，「力がする仕事」を考えてきた
しかし，通常は力を作用させているのは何らかの物体(人と
か機械)であり，それらの物体が「仕事をする」主体である
と考えたくなる。
力 F~ を作用させているものが物体Aであるとすると，「力 F~
がする仕事」のかわりに「物体Aがする仕事」という表現も
しばしば用いられる。
A
B
「F~ がする仕事」=「Aがする仕事」
マイナスの仕事の解釈
A
B
A
F
B
F
物体Aがする仕事は
WA = F~ ·
r
~r =
|F~ || ~r| < 0
~
F
BはAに対して
の力を作用させている(作用反作用の法則)
F
A
B
F
F
A
B
F
r
Bがする仕事は WB = ( F~ ) ·
~r =
WA > 0
マイナスの仕事をした=相手から(プラスの)仕事をされた
仕事とエネルギー
質量mの物体がされる仕事に注目する
運動方程式
d~v
m
= F~
dt
F~
物体に作用する力
物体がされる仕事(物体に作用している力がする仕事)は
W =
=
F · dr =
(Fx dx + Fy dy + Fz dz)
dvx
dvy
dvz
m
dx + m
dy +
dz
dt
dt
dt
仕事とエネルギー
W =
=
F · dr =
(Fx dx + Fy dy + Fz dz)
dvx
dvy
dvz
m
dx + m
dy +
dz
dt
dt
dt
積分変数をx→tの様に変換してみる
dx
v(t) =
より dx = v(t)dt
dt
部分積分
dvx
dvx
dvx
2
dx =
v(t)dt = vx (t)
v(t)
dt
dt
dt
dt
dvx
vx (t)2
dx =
積分できてしまった!
dt
2
仕事とエネルギー
Z
dvx
dx + m
dt
Z
Z
dvy
dvz
W =m
dy + m
dz
dt
dt
hm
it0
2
2
2
=
vx (t) + vy (t) + vz (t)
2
t0
m
0 2
W = |~v (t )|
2
m
2
|~v (t0 )|
2
m
2
K(t) = |~v (t)| という量を考えると，
2
0
運動エネルギー
K(t ) = K(t0 ) + W
「運動エネルギー」は物体がされた仕事の分だけ変化する!
運動エネルギーの意味
運動エネルギーは物体の速度によって決まる物理量
0
K(t ) = K(t0 ) + W
物体がされた仕事の分だけ増える
逆に言うと
運動エネルギーは，物体がした仕事の分だけ減る
運動エネルギーは必ず0以上
物体は自身が持っている運動エネルギーの分だけ
仕事をすることができる
エネルギー=仕事をする能力
仕事率
仕事の定義自体には時間的効率の概念はない。
効率を表す物理量として，仕事率がある。
仕事率: 単位時間あたりに行われる仕事
ある時刻tまでの累積された仕事をW(t)とする。
仕事率P(t)は
dW (t)
P (t) =
dt
特に，一定のペースで仕事がなされている場合には
なされた仕事
仕事率 =
かかった時間
仕事率の単位はJ/s=W(ワット)
1Jの仕事を1sでやる場合が1W

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