地球惑星科学基礎V演習
結晶⾯、晶帯軸、ステレオ投影、ブラッグ条件
第8回
瀬⼾雄介
http://pmsl.planet.sci.kobe-u.ac.jp/~seto
さまざまな結晶の形状
Pyrite
Calcite
Corundum
Quartz
Tourmaline
Beryl
このような形態は、結晶の単位格⼦形状を反映したものである
単位格⼦と結晶外形
単位格⼦
結晶の表⾯は単位格⼦が階段状に並んで、平滑な⾯を形作っている
結晶の「形状」を表現するためには単位格⼦を基準とした表現が必要
結晶における⽅向の表し⽅
• 結晶軸
a
[u v w] :
単位格⼦ベクトル a, b, c をそれぞれ
u, v, w 倍したベクトルの⽅向と⻑さで
定義される周期性
c
b
• 結晶⾯
a
(h k l) :
a/h
h, k, l 等分している⾯集合の⾯間隔と
⾯の法線⽅向で定義される周期性
b/k
b
単位格⼦ベクトル a, b, c をそれぞれ
c/l
c
結晶⾯とは
•
結晶は、格⼦点を通る平⾏な⾯の集合と考えることができる
•
この集合を 結晶網⾯ (crystal net plane) という
•
結晶の外形に現れる平滑な結晶⾯(crystal face)は、この網⾯の
終端が露出したものだと考えることができる
結晶⾯ (Miller指数 h k l )
単位格⼦軸a, b, c に対してそれぞれa/h, b/k, c/l
の点で交わる平⾯(P)と、原点との距離をdとしたと
き、周期dで無限に並んでいてP⾯と平⾏な⾯の集合
a
a/h
a
P
b/k
d
b
c/l
c
b, c
⾯の集合 = 結晶⾯
回折における⾯とは結晶に内在する周期性 (⽅向と間
隔)を意味していて、ある⼀枚の⾯を指すものではない
結晶⾯の⾯指数の表わし⽅
その1
(hkl)
単位格⼦軸a, b, c を、それぞれh, k, l 等分している⾯の集合
この⾯は
a を 2等分
b を 1等分
c を 0等分(c軸と交わらない)
している
b
a
d
この⾯の指数は (2 1 0)
c軸は紙⾯垂直⽅向
この⾯の⾯間隔は d
結晶⾯の⾯指数の表わし⽅
h, k , l などの表記は、それぞれ-h, -k, -l をあらわす
(2 1 0)
b
その2
(2 1 0)
b
a
a
c
c
-a/2
a/2
a
b
a
b
• 原点に最も近い⾯はa, b, c 軸とそれぞれa/h, b/k, c/lで交わる
• ⾯の(法線)⽅向: 原点から、⾯へ垂直におろしたベクトルの⽅向
• ⾯の間隔: 原点と、原点に最も近い⾯との間隔
さまざまな結晶⾯
(001)
(100)
a
b
(010)
c
(011)
(111)
Pyrite (FeS2) : ⽴⽅晶系
Corundum(Al2O3) : 六⽅晶系
a
c
( 2 1 0)
b
c
120°
b
( 2 1 0)
( 0 0 1)
( 1 0 -2)
( 1 0 2)
( 0 1 1) ( 1 0 1)
( 2 -1 0)
( 0 2 1)
(-1 2 0)
( 1 1 0)
( 2 -1 0)
a
⾯と軸の関係
• 結晶軸[p q r]の⽅向と結晶⾯(p q r)の法線⽅向は⼀般に⼀致しない
c = [001]
(001)
b
a
• 結晶軸 [u v w]と結晶⾯ (h k l)が u∙h + v∙k + w∙l = 0 の関係にある
とき、この軸と⾯の法線は直交する
c
c = [001]
(010)
(001)
b
a
[110]
a
b
晶帯、晶帯軸とは
• 指数の異なる2つの結晶(網)⾯の交線の⽅向を、それら
の結晶⾯が属する晶帯軸という
(001)
(100)
<010>
• 共通の晶帯軸に属する結晶⾯の集合を晶帯という
• ある晶帯軸[u v w]と、それに属する結晶⾯(h k l)は必ず
u∙h + v∙k + w∙l = 0 という関係を持つ (ワイスの晶帯則)
ステレオ 投影(等⾓投影)
球⾯上の真円は、ステレオネット上でも
真円になる (⾯積は保存されない)
⼤円/⼩円と極
⼤円 (晶帯): 円の半径が球の半径
と⼀致する円
⼩円: 円の半径が球の半径より
⼩さい円
極 (晶帯軸): ⼤円あるい
は⼩円に垂直な⽅向
ステレオネットによる⽴⽅晶系の投影
⽴⽅体
体対⾓線の⽅向
(3回軸)
点群 2 3
○
●
○
○
辺の⽅向
(2回軸)
●○
●○
●
○
●
●
ステレオネットの性質
– ⾓度が保存される (⾯積は保存されない)
– 球⾯上の円はステレオネット上でも円である
• ⼤円: 球の原点を通る平⾯と球⾯との交線
(経線に相当)
• ⼩円:球の原点を通らない平⾯と球⾯との交線
(緯線に相当)
– ⼤円や⼩円を作る平⾯は、原点を通りその平
⾯に垂直な唯⼀の直線をもつ。これをその⼤
円の「極」という。
結晶形状 (晶相)のステレオネット投影例
Corundum(Al2O3) : 六⽅晶系
( -1 -1 0)
( 1 -2 0)
c
( -1 0 1)
( 0 -1 1)
(-2 1 0)
( 1 -1 1)
120°
b
a
[-1 -1 0]
( 0 0 1)
( 101)
(-1 2 0)
( 01 1)
(110)
(-1 1 1)
( 0 0 1)
( 2 -1 0)
(-1 2 0)
( 2 -1 0)
( 1 0 1)
( 0 1 1)
(110)
解析例
⼆つの晶帯に属する結晶⾯を決めたい場合
⼆つの結晶⾯が属する晶帯を決めたい場合
u1∙h + v1∙k + w1∙l = 0
を満たす⾯の集合
u2∙h + v2∙k + w2∙l = 0
を満たす⾯の集合
晶帯[u1 v1 w1]
結晶⾯(h2 k2 l2)
晶帯[u2 v2 w2]
u1∙h + v1∙k + w1∙l = 0
u2∙h + v2∙k + w2∙l = 0
を同時に満たす⾯
(v1 w2 – v2 w1 , w1 u2 – w2 u1 , u1 v2 – u2 v1 )
結晶⾯(h1 k1 l1)
u∙h1 + v∙k1 + w∙l1 = 0
u∙h2 + v∙k2 + w∙l2 = 0
を同時に満たす晶帯
<k1 l2 – k2 l1 , l1 h2 – l2 h1 , h1 k2 – h2 k1 >
等価な⾯・軸
その1
• 結晶の対称性によって結びつけられる
・等価な結晶軸の集合を<u v w>
・等価な結晶⾯の集合を{h k l}
と表す
例: ⽴⽅晶系ではa, b, c軸が等価なので
<100> は [100] と[010]と[001]の集まり
例: 正⽅晶系ではc軸⽅向に4回回転軸があるので
{120} は (120) と(210)と(120)と(210)の集まり
c
a =[100]
c=[001]
b =[010]
b
a
等価な⾯・軸
その2
• 結晶における結晶軸や結晶⾯は「周期性」である
⇒ 原点の位置に左右されない (平⾏移動しても性質が変
わらない)
⇒⾯や軸の等価性は、(空間群そのものではなく、そこから並進要
素を取り除いた)点群によって決まる
点群 4/m, {100}, {110}, {001}
に囲まれた結晶
(001)
(213)
(-123)
(123)
(2-13)
(-132)
(132)
(3-12) (312)
(010)
(110)
(100)
点群 m3m, {123}に囲まれた結晶
(3-21)
(321) (231)
(3-2-1)
(110)
(32-1) (23-1)
(13-2)
(3-1-2) (31-2)
(21-3) (12-3)
⽴⽅晶系 m3m の晶癖変化 ①
{100}
{012}
{111}
{112}
{110}
{122}
{123}
⽴⽅晶系 m3m の晶癖変化 ②
{100}
{111}
{110}
結晶における回折現象
結晶は規則正しく並んだ原⼦でできている
– 原⼦の⼤きさは~0.1nm
結晶中の原⼦ひとつを直接⾒ることのできる
実験装置は存在しない
「回折」という現象を利⽤する
⼲渉縞
スリット スリット
光源
光源からの光路差によって⼲渉縞があらわれる
•広義の回折
光や⾳が障害物などをかすめたとき幾何
学的に直進しないで，影の部分にまわり
こむ現象
•結晶における回折
原⼦によって散乱された波(X線，電⼦線，
中性⼦線)が、ある特定の条件(ブラッグ
条件)を満たす⽅向に強めあう現象
X線は軌道電⼦によって散乱される
軌道電⼦
X線
原⼦核
直進⽅向に強く散乱する
X線
特定の⽅向に強く散乱する
2d sin(θ) = λ
光路差
⼊射波
波⻑
反射波
λ
θ
θ
単位格⼦
d sin(θ)
d
2d sin(θ) = λ
λ
結晶⾯
λ
θ2
d1
θ1
d2
結晶⾯
単位格⼦
結晶はさまざまな”結晶⾯”によって回折する
2d sin(θ) = λ
光路差
次数(任意の整数)
波⻑
2d sin(θ) = n λ
光路差
θ
dh k l
d2h 2k 2l
θ
dhkl sin(θ)
もし、2 dh k l sin(θ) = 2 λ だったら…
2 d2h 2k 2l sin(θ) = λ と考えても同じこと
(h k l) ⾯によって2次の回折
＝
(2h 2k 2l)⾯によって1次の回折
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