正規分布の和を直接計算

正規分布の和を直接計算
1 正規分布の密度関数
独立な２つの正規分布に対して、和がやはり正規分布になることを示す。証明の方法はいくつか知られてい
るが、直接計算しても導かれることをつぎで示そう。
確率変数 X, Y は独立であり、X ∼ N (µ1 , σ12 ), Y ∼ N (µ2 , σ22 ) ならば、X + Y ∼ N (µ1 + µ2 , σ12 + σ22 )
（証明）まず和の公式：
∫
fX+Y (z) =
∞
−∞
fX (z − y)fY (y)dy
をもちいる。積分される関数は
)
(
1
(y − µ2 )2
(z − y − µ1 )2
−
exp −
2πσ1 σ2
2σ12
2σ22
)
(
1
(y − µ2 )2
1 (z − y − µ1 )2
=
+
}
exp − {
2πσ1 σ2
2
σ12
σ22
fX (z − y)fY (y) =
この指数部を計算していくと、
}
}
(z − y − µ1 )2
(y − µ2 )2
1 {
1 {
+
= 2 y 2 − 2(z − µ1 )y + (z − µ1 )2 + 2 y 2 − 2µ2 y + µ22
2
2
σ1
σ2
σ
σ
(1
)
(
) 2
1
1
z
−
µ
µ
(z − µ1 )2
µ22
1
2
2
=
+
y
−
2
+
y
+
+
σ12
σ22
σ12
σ22
σ12
σ22
(
)
B 2 B2
= Ay 2 − 2By + C = A y −
−
+C
A
A
ここで
A=
1
1
σ2 + σ2
+ 2 = 1 2 22,
2
σ1
σ2
σ1 σ2
B=
z − µ1
µ2
+ 2,
σ12
σ2
C=
(z − µ1 )2
µ2
+ 22 とおく。さらにこれを計算
2
σ1
σ2
する。
)
(z − µ1 )2
µ22
−
+ 2
σ12
σ2
(
)
2 2
2
2 2
σ σ
(z − µ1 )
(z − µ1 )µ2
µ
(z − µ1 )2
µ2
= 21 2 2
+2
+ 24
−
− 22
4
2
2
2
σ1 + σ 2
σ1
σ1 σ2
σ2
σ1
σ2
2
2
1
2
µ22
σ2
1
σ1 2 (z − µ1 )2
2
= 2
(z
−
µ
)
+
µ
−
−
(z
−
µ
)µ
+
1
1
2
2
σ + σ22 σ12
σ12 + σ22
σ12 + σ22 σ22
σ12
σ22
}
{
}
{1
2
2
σ2
1
z − µ1
1
σ1
1
1
− 2 (z − µ1 )2 + 2 2
µ2 +
− 2 µ22
=
σ12 + σ22 σ12
σ1
σ1 + σ22
σ12 + σ22 σ22
σ2
−1
z − µ1
−1
= 2
+2 2
µ2 − 2
µ2
σ1 + σ22
σ1 + σ22
σ1 + σ22 2
−1
(z − µ1 − µ2 )2
= 2
σ1 + σ22
σ2 σ2
B2
−C = 21 2 2
A
σ1 + σ 2
(
µ2
z − µ1
+ 2
2
σ1
σ2
)2
(
1
したがって指数部は
(
)2
(
B )2 B 2
σ2 + σ2
B
−1
(z − µ1 − µ2 )2
A y−
−
+C = 1 2 22 y −
+ 2
A
A
σ1 σ2
A
σ1 + σ22
正規分布の密度関数は積分をすると１になることから、
)
(
√
(x − µ)2
exp −
dx = 2πσ
2
2σ
−∞
∫
∞
右辺は µ に依存しないことに注意する。つまり
(
)
√
1 σ2 + σ2
B
σ1 σ2
exp − 1 2 2 2 (y − )2 dy = 2π √ 2
2 σ1 σ2
A
σ1 + σ22
−∞
∫
∞
したがって
∫
fX+Y (z)
∞
=
−∞
=
=
fX (z − y)fY (y)dy
(
)
(
)
B 2
1 σ12 + σ22
(z − µ1 − µ2 )2
(y − ) dy × exp −
exp −
2 σ12 σ22
A
2(σ12 + σ22 )
−∞
)
(
(z − µ1 − µ2 )2
1
exp
−
√ √ 2
2(σ12 + σ22 )
2π σ1 + σ22
1
2πσ1 σ2
∫
∞
最後の式は X + Y ∼ N (µ1 + µ2 , σ12 + σ22 ) に対する密度関数であることを示している。(証明終わり）
問 1.1
定数 a, c に対し、確率変数 X が X ∼ N (µ, σ 2 ) ならば、
aX + c ∼ N (aµ + c, a2 σ 2 )
であることを示せ。
問 1.2
定数 a, b に対し、確率変数 X, Y は独立であり、X ∼ N (µ1 , σ12 ), Y ∼ N (µ2 , σ22 ) ならば、
aX + bY ∼ N (aµ1 + bµ2 , a2 σ12 + b2 σ22 )
であることを示せ。
2 密度関数の計算
正規分布の密度関数が積分して、１に等しくなることの証明は初等的にはたいへん難しい。多く用いられる
∫
∞
のは、ガンマ関数 Γ(α) =
xα−1 e−x dx, α > 0 において、Γ(1/2) =
√
π となることがよく知られている。
0
またこの積分値を計算のために ϕ(x)ϕ(y) を考えて、この 2 変数関数 (x, y) の 2 重積分を極座標変換すること
も積分の練習問題としてよく使われる。ここではある関数を微分して定数になるから、恒等式の関係を満たす
ことがわかり、この極限を計算することで、正規分布の密度関数積分、あるいはパラメータ 1/2 のガンマ関数
計算値として得られることを述べる。この関係式は S.B.Daniel(Cambridge Univ.) による。
1 −x2 /2
e
に対して
2π
密度関数 ϕ(x) = √
∫
∞
ϕ(x)dx = 1 を満たす。
−∞
2
（証明）すべての x > 0 に対して
(∫
∞
e−t dt
2
)2
∫
∞
+
0
0
e−x (1+t )
π
dt =
1 + t2
4
2
2
を満たす。なぜならば、変数 x で微分をすると、左辺の第 1 項は 2e−x
2
∫x
0
e−t dt であり、これは第 2 項を微
2
分して変数変換したものに符号を変えたものに等しい。したがってその和はゼロとなる。すなわち元の第 1 項
と第 2 項の積分の和は定数であることがわかる。このとき x = 0 とすれば、
∫
∞
x → ∞ とおけば、
0
e−x (1+t )
dt → 0 だから、
1 + t2
2
2
(∫
∞
e−t dt
2
)2
0
=
∫1
0
dt
π
= tan−1 1 = さらに
2
1+t
4
π
となり、証明される。
4
問 2.1
一般 N (µ, σ 2 ) の場合には変数変換を行う。これを示せ。
問 2.2
∫
∞
ガンマ関数において Γ(1/2) =
√
xe−x dx =
√
π の関係式は正規分布の密度関数を積分することと同じで
0
あることを確かめよ。
問 2.3
２項分布においても独立ならば、和を保存する性質（再生性）をもつ。これを示せ。X ∼ Binom(n, p), Y ∼
Binom(m, p) ならば、X + Y ∼ Binom(n + m, p) が成り立つ。
問 2.4
幾何分布（負の 2 項分布）
、指数分布（ガンマ分布）などについてもこのような再生性をもつ。分布の密度関数
を調べて直接計算してみよ。
3

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