計量経済学：復習テスト 18 学籍番号氏名 2014 年 12 月 10 日注意：すべての質問に解答しなければ提出とは認めない．小さな声でなら相談しても構わない．教科書・ノートを参照してもよい．授業時間内に提出できない場合は当日中に事務室前の「提出用ボックス」に提出すること． 1. 大きさ n の (1 + k) 変量データ (y, X) を大きさ n1 の (y1 , X1 ) と大きさ n2 の (y2 , X2 ) に分割する．次のような一般化正規線形回帰モデルを仮定する． ( [ 2 σ I y|X ∼ N Xβ, 1 n1 O O σ22 In2 ]) 次の検定問題を考える． H0 : σ12 = σ22 vs H1 : σ12 ̸= σ22 （a）Goldfeld–Quandt 検定統計量を与えなさい．（b）H0 の下で検定統計量の分布はどうなるか？（c）n1 = 10，n2 = 20，k = 5 とする．有意水準 10 ％の検定の棄却域を F 分布表から求めなさい． 1 2. 大きさ n の (1 + k) 変量無作為標本を (y, X) とする．次のような yi の xi 上への条件つき不均一分散をもつ線形回帰モデルを仮定する． yi = x′i β + ui E(ui |xi ) = 0 var(ui |xi ) = σ 2 exp(x′i γ) 次の検定問題を考える． H0 : γ = 0 vs H1 : γ ̸= 0 （a）次式を示しなさい． ( E （b）H0 の下で次式を示しなさい． u2i |xi σ2 ( E ) = exp(x′i γ) u2i − 1|xi σ2 ) =0 （c）Breusch–Pagan による不均一分散の検定方法を直感的に説明しなさい． 2 解答例 1.（a） F := s21 s22 （b） F ∼ F(n1 − k, n2 − k) （c）F ∼ F(5, 15)，1/F ∼ F(15, 5) より Pr[F > 2.901] = .05 ] [ [ ] 1 1 Pr > 4.619 = Pr F < F 4.619 = .05 したがって棄却域は [0, 1/4.619) ∪ (2.901, ∞)． 2.（a） ( ) var(ui |xi ) := E (ui − E(ui |xi ))2 |xi ( ) = E u2i |xi したがって ) ( E u2i |xi = σ 2 exp(x′i γ) すなわち ( E u2i |xi σ2 （b）H0 の下で ( E すなわち ( E ) = exp(x′i γ) u2i |xi σ2 ) u2i − 1|xi σ2 =1 ) =0 （c）u2i /σ 2 − 1 の xi 上への回帰の回帰係数ベクトルは H0 の下で 0．β の OLS 推定量を b，残差ベクトルを e := y − Xb，H0 の下での誤差分散の推定量を σ ˆ 2 := e′ e/n とする．Breusch–Pagan のラグランジュ乗数検定では u2i /σ 2 − 1 の代わりに e2i /ˆ σ 2 − 1 を xi に回帰して回帰係数ベクトルが 0 かどうかを検定する． 3