電磁解析レジュメ 2 (静電場)

電磁解析レジュメ 2 (静電場)
静電場
1
1.1
遠隔作用と近接作用
力の作用を考えるとき，遠隔作用と近接作用の 2 つの立場がある．遠隔作用とは力を伝える媒質は存在しないと
いう考え方であり，近接作用とは力を伝える媒質が存在するという考え方である．
電磁気学においては，遠隔作用で記述された法則を，電場や磁場等の場を導入することで近接作用の法則に書
き換える．例えば，2 つの点電荷 q, Q の間に働く力は，以下のクーロンの法則によって与えられる．
F =
1 qQ
4πϵ0 r2
ここで，ϵ0 は真空の誘電率，r は q, Q の間の距離である．クーロンの法則は，遠隔作用の立場に基づく法則であ
る 1 ．クーロンの法則を以下のように書き直す．
F = qE,
E=
1 Q
4πϵ0 r2
ここで出てきた E は仮に定義されたものである．しかし，E を点電荷 Q の回りの真空の変質の結果として生じる
本質的な量であると考え，これを電場の大きさと名付ける．物理的な量として電場の大きさを扱うとき，遠隔作
用から近接作用の立場に移ったと言える 2 ．
1.2
ガウスの法則
点電荷 Q と電場の大きさの関係を次のように書き換える．
4πr2 E =
Q
ϵ0
ここで，電場の向きは Q を中心とした球の中心から外側に向かう方向であると定義すると，電場をベクトルとし
て表現することができる．
E=
1 Q
r̂
4πϵ0 r2
(1)
ここで，r̂ は球の中心から球面上の点に向かう単位ベクトルである．点電荷 Q と電場 E の関係は次のようになる．
∫
Q
E · n dS = ,
ϵ0
球
∫
ここで，球 dS は Q を中心とした半径 r の球面上の面積積分であり，n = r̂ は球の内側から外側に向かう球面上の
法線ベクトルである．上の E と Q の関係は，1 つの点電荷 Q の周りの半径 r の球面に対してのみ成り立つ．これ
を電荷 Q を取り囲む任意の球および球でない閉曲面に対しても成り立つことを証明することができる．また，電
∑
場に対する重ね合わせの理から，Q はその閉曲面の取り囲む電荷集団 {Q1 , Q2 , ...} の合計 i Qi であり，E は電
荷集団によって形成される電場の合成であるという風に関係を拡張することができる．結果として，以下の点電
荷集団に対する積分型のガウスの法則を得る．
∫
1 ∑
E · n dS =
Qi
ϵ0
S0
i
∫
ここで， S0 dS は電荷集団を取り囲む任意の閉曲面 S0 上の面積積分であり，n は閉曲面上の法線ベクトルである．
次に，電荷集団を電荷密度 ρc によって連続体近似すると以下を得る 3 ．
∫
∑
Qi =
ρc dV
V0
i
1 つまり，点電荷の間に存在する空間については何も語っていない．(ϵ は単なる力の結合定数であると考えればよい)．
0
2 なぜなら，電場は真空に形成されるため，真空は力を伝える媒質であると認めたことになる．
3 電荷密度の次元は
[C/m3 ] である．
1
∫
ここで， V0 dV は閉曲面 S0 の内部空間に対する体積積分である．このとき，積分型のガウスの法則は以下のよ
うになる．
∫
∫
∫
ρc
E · n dS =
∇ · E dV =
dV
S0
V0
V0 ϵ0
ここで，ガウスの定理を用いた．上の関係が任意の閉曲面に対して成り立つので，体積積分の被積分関数同士は
一致しなくてはならない．従って，以下の連続体近似された電荷集団に対する微分型のガウスの法則を得る．
∇·E =
1.3
ρc
ϵ0
(2)
静電ポテンシャル
点電荷 Q によって形成される電場 (1) は，静電ポテンシャル ϕ を用いて以下のように与えられる 4 ．
E = −∇ϕ,
ϕ=
1 Q
4πϵ0 r
(3)
電場に関する重ね合わせの理から，E = −∇ϕ の関係は任意の電荷集団に対しても成り立つことが証明される．
E = −∇ϕ を微分型のガウスの法則 (2) に代入すると以下を得る．
∆ϕ = ∇2 ϕ = −
ρc
ϵ0
これを静電場に対するポアッソン方程式と呼ぶ 5 ．ある電荷素片 ρdV から作られる静電ポテンシャルは (1/4πϵ0 )(ρdV /r)
で与えられることが (3) から分かる．電場が電荷素片の集合によって形成されると考えると，静電ポテンシャルは
電荷素片によって形成されるものの総和として以下で与えられる．
∫
1
ρc (x′ ) ′
ϕ (x) =
dV
(4)
4πϵ0
r′
∫
ただし，r′ = |x − x′ |， dV ′ は座標空間 x′ に対する体積積分である．(4) はポアソン方程式の解である．特に，
真空の場合には電荷は存在しないので (ρc = 0)，ポアソン方程式は以下のようになる．
∆ϕ = ∇2 ϕ = 0
これをラプラス方程式と呼ぶ．
1.4
コンデンサー
2 枚の導体板によるコンデンサーを考える．片方の導体版の表面電荷密度を σ とする 6 ．導体板間には導体に垂直
な方向に大きさ E の電場が生じているが，導体の内部には導体の性質により電場は存在しない．片方の導体の内
部，導体の表面，導体間の空間にまたがる円柱領域を考え，円柱の底面積を ∆S とし，円柱の底面はコンデンサー
に平行であるとする．このとき，円柱に囲まれる電荷は σ∆S である．円柱領域に対する点電荷集団に対する積分
型のガウスの法則から以下を得る．
E∆S =
σ∆S
ϵ0
→
E=
σ
ϵ0
ここで，左の式の左辺は導体間に存在する円柱の底面からの寄与であり，導体内部の円柱の底面および円柱の側
面から寄与は存在しない．
導体に垂直な方向に座標 x をとると，静電ポテンシャル ϕ は E = σ/ϵ0 = −∂ϕ/∂x より，ϕ = −(σ/ϵ0 )x + ϕ0
となる，ただし，ϕ0 は積分定数である．導体板の距離を d とし，負に帯電した導体板を基準として正に帯電した
導体板の電位 V を定義すると，V = σd/ϵ0 かつ E = V /d となる．正に帯電した導体板に電荷 Q が蓄えられてい
る場合，コンデンサーの電気容量を C としたら，Q = CV となる．また，導体の表面積を S とすると，σ = Q/S
となる．以上より，コンデンサーの電気容量は以下で与えられる．
C=
ϵ0 S
Q
=
V
d
∇(1/r) = −(1/r)r̂ の関係を用いる．
= g の型の方程式をポアッソンの方程式と呼ぶ．
6 表面電荷密度の次元は [C/m2 ] である．
4 証明するには
5 細かいことを言えば，∆f
2
微小な電荷 dQ がコンデンサー間を移動したとき，その電荷の受け取る運動エネルギー dW は dW = V dQ で
ある．これを積分すると，コンデンサーから取り出せる運動エネルギー W が次のように求まる．
∫ Q
∫ Q ′
Q
Q2
ϵ0
′
′
W =
V dQ =
dQ′ =
= E 2 Sd
C
2C
2
0
0
ただし，Q′ = CV ′ ，積分定数は Q = 0 のとき W = 0 となるように 0 とした．これは，コンデンサーには W と
同じ量のポテンシャルエネルギーが蓄えられていることを示している．
静電場に対するポテンシャルエネルギー U は一般に以下で与えられる．
∫
ϵ0
2
U=
|E| dV
(5)
2
∫
コンデンサーに対しては，|E| = E ， dV = Sd とすると U = (ϵ0 /2)E 2 (Sd) となり，W と一致することが分かる．
1.5
鏡像法 (電気影像法)
真空中に導体板と電荷 Q が離れた位置に存在するとする．導体板内部の電荷が移動し，表面電荷を生ずる．電荷
Q と表面電荷の間は真空であり，静電ポテンシャルはラプラス方程式によって与えられる．ラプラス方程式に対
しては一義性定理が成り立つことが知られている．一義性定理とは，一つの境界条件を満たすラプラス方程式の
解は一つしかない，という定理である．この定理により，ある境界条件を満たす解が一つ見つかれば，それが唯一
の解であることが保証される．一義性定理を利用して，点電荷と表面電荷の間に形成される静電ポテンシャル分
布を求める手法が鏡像法 (電気影像法) がである．
最も簡単な例として，導体板が無限に広い導体平面である場合について，鏡像法の適用を示す．電荷 Q は導体
平面と距離 d 離れているとする．鏡像法においては，表面電荷の代わりに鏡像電荷 (影像電荷) を考える．鏡像電
荷は電荷 −Q を持ち，導体平面の表面に対して電荷 Q と対称な位置に存在する．表面電荷のことを一旦忘れて，
電荷 Q と鏡像電荷 −Q によって点 P に形成される静電ポテンシャルを以下のように与える．
(
)
1
Q Q
ϕ=
− ′ + ϕ0
(6)
4πϵ0 r
r
ここで，r は電荷 Q と点 P の距離，r′ は鏡像電荷 −Q と点 P の距離，ϕ0 は任意の定数である．導体平面の表面に
あたる位置では常に r = r′ であり，ϕ = ϕ0 となる．ところで，表面電荷の分布が定常であるとき，導体表面では
ϕ = (任意定数) が成り立つ 7 ．従って，表面電荷から分布からラプラス方程式を用いて ϕ を求める場合には，導体
の表面において ϕ = (任意定数) の境界条件を与えなくてはならない．この境界条件は偶然にも，電荷 Q と鏡像電
荷 −Q によって形成される ϕ によって満たされている．一義性定理より，境界条件を満たす解は唯一なので，ラ
プラス方程式の解は鏡像電荷を用いた上の表式 (6) で与えられることが保証される．
なお，電荷 Q が誘電率 ϵ1 の誘電体に取り囲まれており，導体平面の代わりに誘電率 ϵ2 の誘電体平面がある場
合，鏡像電荷は −Q(ϵ2 − ϵ1 )/(ϵ2 + ϵ1 ) と修正される 8 ．ϵ1 ≪ ϵ2 の場合，鏡像電荷は −Q に収束するため，電荷は
真空中にあると近似できることが分かる．電荷 Q が存在する側の誘電体の内部の静電ポテンシャルは鏡像法で計
算できるが，鏡像電荷が存在する側の誘電体の静電ポテンシャルを求めるには別の計算方法が必要である．
静磁場
2
2.1
定常電流
導線に電流 I が流れており，導線の断面積を ∆S とする．このとき，電流がもし導線内部で一様であれば，導線
の断面におけるの電流の面密度は I/∆S となる．このような電流の面密度を電流密度の大きさと定義する．電流
密度の大きさに各点における電流の向きを掛けたものを，電流密度（ベクトル）i と定義する 9 ．
電流の流れている空間に対して，任意の閉曲面
S0 を考える．閉曲面 S0 の表面を通過して閉曲面内に流入する電
∫
∫
流は − S0 i · n dS である 10 ．一方，閉曲面 S0 の内部空間 V0 に単位時間辺りに流れ込む電荷の量 (∂/∂t) V0 ρc dV
である．電荷の保存則より，以下が成り立つ．
∫
∫
∫
∫
∂ρc
∂
ρc dV = −
i · n dS →
dV = −
∇ · i dV
∂t V0
S0
V0 ∂t
V0
ただし，ガウスの定理を用いた．上の関係が任意の閉曲面について成り立つので，以下の電荷に関する連続の式
を得る．
∂ρc
+∇·i=0
∂t
閉曲面内の電荷が時間的に一定の場合は ∇ · i = 0 が成り立つ．この性質を満たす電流を定常電流と呼ぶ．
7 成り立たなければ電場が存在するので電荷の分布は定常にならない．成り立つように自律的に表面電荷の分布が形成される．
8 後藤憲一他著「詳解電磁気学演習」共立出版株式会社
9 次元は
[A/m2 ] である
10 マイナス符号は，法線ベクトルが閉曲面の内側から外側向きに定義していることによる．
3
2.2
オームの法則
非定常電流であっても，導線の内部の至る場所でオームの法則が成立すると仮定する．導線内に断面積 S ，長さ l
の微小な円柱を考える．ただし，円柱の側面は電流の流れと交差しないとし，断面からのみ電流が出入りすると
する．微小な円柱の電気抵抗は，抵抗率 ρ を用いて R = ρl/S のように表される．また，微小な円柱に流れる電流
を I ，電圧を V とすると，オームの法則により I = V /R が成り立つ．微小な円柱における電流密度の大きさを i，
電圧の大きさを E とすると，I = iS ，V = El が得られる．従って，以下の関係が得られる．
I=
V
R
→
E=ρi
電流密度の向きと電場の向きは常に一致するため，オームの法則は以下のようになる．
E=ρi
次に，上で求められたオームの法則のベクトルの形式を，下の電子の流体方程式から導出してみよう．
mn
dv
mn
= enE −
v
dt
τ
ここで，m は電子の質量，e は電子の電荷，τ は電子の平均衝突時間（電子の運動量の拡散時間），v は電子の速度，
n は電子の密度である．定常状態においては左辺はゼロになり，E = (m/eτ )v が得られる．電流密度は i = env
と表されるため，以下の結果を得る．
( m )
E= 2
i
e nτ
オームの法則と比較すると，抵抗率は m/e2 nτ に対応することが分かる．
2.3
アンペールの法則
直線状の 2 本の平行電流 I, I ′ の間には，単に長さ当たり以下のような力が生じる 11 ．
F =
µ0 II ′
2π R
ただし，µ0 は真空の透磁率，R は I, I ′ の間の距離である 12 ．この法則を以下のように書き直す．
F = I ′ B,
µ0 I
2π R
B=
ここで，B を電流 I2 の回りの真空の変質の結果として生じる本質的な量であると考え，これを磁束密度の大きさ
と名付ける．
電流 I と磁束密度の大きさの関係を次のように書き換える．
2πRB = µ0 I
ここで，磁束密度の向きは I を中心とした円の円周方向であると定義すると，磁場密度をベクトルとして表現す
ることができる．
B=
µ0 I
θ̂
2π R
ここで，θ̂ は円の円周方向に沿った単位ベクトルである．電流 I と磁束密度 B の関係は次のようになる．
I
B · θ̂ dl = µ0 I,
円
H
ここで，円 (·θ̂dl) は電流を中心とした半径 r の円上の周積分である．上の B と I の関係は，1 本の電流 I の周り
の半径 r の円上に対してのみ成り立つ．これを電流 I を取り囲む任意の円および円でない閉曲線に対しても成り
立つことを証明することができる．また，磁束密度に対する重ね合わせの理から，
I はその閉曲線の取り囲む電流
∑
集団 {I1 , I2 , ...} の合計 i Ii であり，B は電荷集団によって形成される磁束密度の合成であるという風に関係を
拡張することができる．結果として，以下の電流集団に対する積分型のアンペールの法則を得る．
∫
∑
B · dl = µ0
Ii
l0
11 次元は
i
[N/m] である．
[N/A2 ] である．
12 透磁率の次元は
4
∫
ここで， l0 (·dl) は電流集団を取り囲む任意の閉曲線 l0 上の周積分であり，dl は閉曲線上の微小な長さに接線方
向の単位ベクトルを掛けたものである．
次に，電荷集団を電流密度 i によって連続体近似すると以下を得る．
∫
∑
Ii =
i · n dS
S0
i
∫
ここで， S0 dS は閉曲線 l0 の取り囲む面に対する面積積分，n は面上の法線ベクトルである．このとき，積分型
のアンペールの法則は以下のようになる．
∫
∫
∫
B · dl =
∇ × ·B · n dS = µ0
i · n dS
l0
S0
S0
ここで，ストークスの定理を用いた．上の関係が任意の閉曲線に対して成り立つので，面積積分の被積分関数同
士は一致しなくてはならない．従って，以下の連続体近似された電流集団に対する微分型のアンペールの法則を
得る．
∇ × B = µ0 i
2.4
(7)
磁場のガウスの法則
電荷と異なり，磁石や電磁石の N,S 極は単極では存在しない．しかし，磁石や電磁石を符号の異なる単極の対で
あると考えると，それぞれの極の磁荷を定義することができる．このような場合，磁荷 qm , Qm に対して，以下の
クーロンの法則が成り立つ 13 ．
F =
1 qm Qm
4πµ0 r2
ここで，µ0 は真空の透磁率，r は qm , Qm の間の距離である．クーロンの法則を以下のように書き直す．
F =
1
qm B,
µ0
B=
1 Qm
4π r2
ここで，B は偶然にも磁束密度の大きさに一致する量である 14 ．ここで，磁束密度の向きは Qm を中心とした球
の中心から外側に向かう方向であると定義すると，磁束密度をベクトルとして表現することができる．
B=
1 Qm
r̂
4π r2
ここで，r̂ は球の中心から球面上の点に向かう単位ベクトルである．磁場が単極の対であることを思い出すと，そ
れぞれの極の形成する磁場の合成が，実際に形成される磁場となる．
電場のガウスの法則と全く同様の論理によって磁場のガウスの法則を導くことができる．ただし，磁荷は 2 つ
の極がペアになっているため，どのような閉曲面内においても磁荷の合計はゼロになる 15 ．従って，磁場のガウ
スの法則は以下で与えられる．
∫
B · n dS = 0, ∇ · B = 0
(8)
S0
2.5
ビオ-サバールの法則
アンペールの法則から，電流密度が決まれば磁束密度も求まることが分かる．以下では，細い導線にそって流れ
る電流の周りに形成される磁束密度を求めるビオ-サバールの法則を導出する．
まず，磁場のガウスの法則 (8) を満たすように，磁束密度を以下のように定義する．
B =∇×A
ここで，A はベクトルポテンシャルと呼ばれる量である．静電ポテンシャルと同様に，ベクトルポテンシャルも基
準点は任意に選ぶことができる．より具体的には，A → A + ∇f のような変換に対しても B は不変なため，関
13 磁荷の次元は
[Nm/A] = [Wb](ウェーバー) である．
14 磁束密度の次元と値に一致するように磁荷の次元と大きさを定義したのである．
15 閉曲面が棒磁石の真ん中を分断するような場合には，磁荷の合計はゼロにならないように見える．しかし，磁石を切断したときには切断
面に新たな極が発生することを思い出せば，やはりゼロになるのである．これは電磁石についても同じである．
5
数 f は任意である．このような任意性を取り除くために，クーロン条件 ∇ · A = 0 を課すのが慣例である 16 ．微
分型のアンペールの法則は次のように書き換えられる．
∇ × B = ∇ × (∇ × A) = −∇2 A = µ0 i
ここで，ベクトル解析の公式 ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A とクーロン条件を用いた．直交座標系において，
A と i の x 成分に関する式は以下のように表される．
∇2 Ax = −µ0 ix
これは，ポアソン方程式の形である．静電ポテンシャル ϕ に関するポアソンの方程式 ∇2 ϕ = −ρc /ϵ0 の解は (4) で
与えられている．これを応用して，Ax の解として以下を得る．
∫
ix (x′ ) ′
µ0
Ax (x) =
dV
4π
r
∫
ただし，r = |r|, r = x − x′ ， dV ′ は座標系 x′ に対する体積積分である．y, z 成分についても同様の答えを得る
ので，A の解は以下で与えられる．
∫
µ0
i(x′ ) ′
A (x) =
dV
4π
r
A の座標空間 x に対する回転が磁場 B(x) となるので，以下を得る 17 ．
∫
µ0
i(x′ ) × r ′
B (x) = ∇ × A (x) =
dV
4π
r2
特に，電流 I が細い導線に流れている場合は，導線に沿った距離ベクトル l′ を用いて i(x′ )dV ′ = Idl′ と書け
るので，以下の表式が得られる．
∫
µ0 I
dl′ × r
B=
4π
r2
これをビオ-サバールの法則と呼ぶ．
2.6
電流と電荷に働く磁場の力
磁束密度 B の中に電流 I が流れているとする．このとき，電流に沿った長さ l に作用する力は以下で与えられる．
F = I (le × B)
ただし，e は電流の向きを表す単位ベクトルである．これをアンペール力と呼ぶ 18 ．
電場 E ，磁束密度 B の中を電荷 e の荷電粒子が速度 v で運動しているときに，荷電粒子に作用する力は以下
となる．
F = eE + ev × B
これをローレンツ力と呼ぶ．E = 0 に限ると，電流を構成する荷電粒子に働くローレンツ力の総和はアンペール
力に一致するはずである．
直交座標系 (x, y, z) において，電場 E = 0，磁束密度 B = B0 iz ，B0 = (一定) であるような場合，荷電粒子
の運動方程式は以下となる．
dv
= eB0 v × iz
dt
ここで，m は荷電粒子の質量である．方程式の x, y, z 成分より，以下が得られる．
m
dvx eB0
=
vy
(9)
dt
m
dvy
eB0
=−
vx
dt
m
dvz
=0
dt
まず，z 方向には等速運動を行うことが分かる．また，第一式と第二式を連立すると以下の方程式が得られる．
(
)2
eB0
d 2 vx
=−
vx
dt
m
これは，単振動を表す方程式であり．その角振動数 Ω = |eB0 /m| はサイクロトロン周波数と呼ばれる．x, y 平面
内においては，荷電粒子は磁力線に巻き付く旋回運動を行い，この運動をサイクロトロン運動と呼ぶ．
16 電磁場が時間変動する場合には，ローレンツ条件という拡張された条件を課す．
17 ∇ (1/r) = −r/r 2 を用いる．
x
18 ただし，この力の最初の発見者はアンペールではなくエルステッドである．
6

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