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次回(11月17日)はPCを使います
2 確率論速習
6
前回の Quiz
( 1 )4
1
3
=6×
表が 2 枚出る確率は 4 C2
= であり，4 枚出る確率は
2
16
8
( 1 )4
1
1
=1×
=
である．
4 C4
2
16
16
○○●●，○●○●，○●●○，●●○○，●○●○，●○○●
(端が表，あと一つどこに表が出るか?端が裏，あと一つどこに裏が出るか?)
2 枚もしくは 4 枚表がでないときの賞金は 0 円で，その確率は残りの
1−
3 1
9
− =
8 6
16
となる．(※ 0 枚も偶数で賞金が出そうだが，賞金は 0 円!)
よって，期待賞金 E[X] は
E[X] = 0 ×
9
3
1
+ 200 × + 400 ×
= 75 + 25 = 100
16
8
16
である．
2.3.
分散
[
]
2.3.1. 分散 V(X) = E (X − E[X])2
※ (X − E[X])2 は「確率変数 X と期待値 E[X] の距離の 2 乗」であるから，
分散は「ばらつき度合い」を表している．
※ ばらついている=基点からの距離が 0 でないものがたくさんある．
※ ばらついていない例として，いつでも 1 の目しか出ないサイコロを考え
よう．このとき，さいころの目を表す確率変数 X に対し，P(X = 1) = 1，
P(X = i) = 0 (i = 2, . . . , 6) となる．したがって，
E[X] = 1 × 1 +
6
∑
i × 0 = 1,
i=2
V(X) = (1 − 1)2 × 1 +
6
∑
(i − 1)2 × 0 = 0.
i=2
すなわち，V(X) = 0 である．
2.3.2. 【例】コイン投げを実現する確率変数は，X(表) = 1，X(裏) = 0 である．
「表が出る確率が p である」ということは，P(X = 1) = p と表現できる．
この X の期待値と分散は
E[X] = 1 × p + 0 × (1 − p) = p,
V(X) = (1 − p)2 × p + (0 − p)2 × (1 − p) = p(1 − p)
となる．
3 大数の法則
3.
3.1.
7
大数の法則
独立なコピー
3.1.1. 独立
(a) 事象 A, B が独立：P(A ∩ B) = P(A)P(B)
(b) 事象 A, B, C が独立：A, B が独立，B, C が独立，かつ C, A が独立で，
さらに P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C)
(c) 事象 A1 , . . . , An が独立：任意の (n − 1) 個が独立で，さらに
P(A1 ∩ · · · ∩ An ) = P(A1 ) × · · · × P(An )
(d) 確率変数 X, Y が独立：{X ≦ a}, {Y ≦ b} が独立．
(e) 確率変数 X, Y, Z が独立：{X ≦ a}, {Y ≦ b}, {Z ≦ c} が独立．
(f) 確率変数 X1 , . . . , Xn が独立：{X1 ≦ a1 }, . . . , {Xn ≦ an } が独立．
3.1.2. X の独立なコピー X1 , X2 , . . . X1 , X2 , . . . は独立で，
P(X = a) = P(X1 = a) = P(X2 = a) = . . .
P(X ≦ a) = P(X1 ≦ a) = P(X2 ≦ a) = . . .
(すべての a) となること．
3.1.3. 【例】サイコロ投げの出た目を X とする．このサイコロを繰り返し投げる．
1 回目に出た目を X1 ，2 回目に出た目を X2 ，…とする．X1 , X2 , . . . は X
の独立なコピーである．
3.1.4. いかさまサイコロサイコロを 2 回投げる．2 回目の目は 1 回目の目と同じ
目となる確率が他の目の 2 倍であると仮定する．1 回目に出た目を X ，2 回
目に出た目を Y とすると，この X, Y は独立ではない．
上の例では独立性の暗黙の約束がある．
3.1.5. 危険な曲がり角 (for whom?)：
(a) 『A, B が独立，B, C が独立⇒ A, C は独立』は嘘
例えば，トランプを引いて模様 (スーツ) を観る．
A = {♢, ♡}，B = {♢, ♠}，C = {♠, ♣}
(b) 『A, B が独立，B, C が独立，A, C は独立⇒ A, B, C は独立』は嘘
再びトランプ．A = {♢, ♡}，B = {♢, ♠}，C = {♠, ♡}
(c) 発想を変えて
i. 『X, Y が独立，Y, Z が独立⇒ X, Z は独立』は正しい?
ii. 『X, Y が独立，Y, Z が独立，Z, X が独立⇒ X, Y, Z は独立』は正
しい?
3 大数の法則
3.2.
8
大数の法則
3.2.1. 大数の法則 X1 , X2 , . . . が X の独立なコピーならば，確率 1 で，n が十分
大きければ
X1 + · · · + Xn
≒ E[X]
n
となる．
3.2.2. 【例】表が出る確率が 0.7 のコインを n 回投げる．
{
{
1 (1 回目は表)
1 (2 回目は表)
X1 =
, X2 =
,...
0 (1 回目は裏)
0 (2 回目は裏)
とする．
1 回目
1
2 回目
0
· · · ...
(n − 1) 回目
0
n 回目
0
♠ X1 + · · · + Xn =n 回で表が出た回数
X1 + · · · + Xn
♠
=n 回で表が出る頻度
n
♠ n が大きければ，
「n 回で表が出る頻度≒ 0.7」(E[X] = 0.7)
3.2.3. 公平なコイン公平なコイン，すなわち，表が出る確率，裏が出る確率が
それぞれ 12 のコイン．(E[X] = 12 )
♠ 「2 回に 1 回表が出る」は×
♠「1 万回に 5 千回表が出る」は○
♢ 「公平」というふれ込みのコインを 5 千回投げたら，2989 回表が出た．
公平ですか?…たぶん怪しい．
では，もし，表が出たのは 2,548 回だったら?
3.2.4. 顧客の嗜好調査顧客 1,000 人に新商品を買いたいかどうかアンケート調査
をした．700 人が Yes．
『顧客＝コイン』
『表が出る＝購入する』と見做すと，
「7 割がた，購入する」と説明できる!!
3.2.5. 保険金の平均支払金額『自動車保険での総支払額/支払件数』が平均支払
金となる．しかしこれは，単純な平均値ではなく，大数の法則に保証され
た支払金額の「推定値」である．
(支払額)=(真の支払額)+(揺らぎ)
(揺らぎ)=確率変数，期待値は 0 のはず (なぜ?)
支払額の総和
揺らぎの総和
= (真の支払額) +
支払件数
支払件数

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