sin x = x と近似できるのは何度までか 朋優学院高等学校 理工学部 １．はじめに lim x→0 ３．計算結果 有効数字1桁の場合 sin x = 1 は高校数学で必須の定理であ x る。また、物理においては x が十分小さい範 囲 に お いて sin x ≈ x とす る 近 似 が 多 用 さ れ る。 sin x ≈ x として計算を続けても有効数字 内では影響が無いということだ。しかし、 x が十分小さいといえる範囲については言及さ れず、混乱する学習者も多い。そこで、各有 効数字において sin x ≈ x とみなして問題無い 結果より3.3 10 範囲は何度までか確認したので報告する。 まで有効であるといえ る。 ２．確認方法 有効数字2桁の場合 表計算ソフト（Microsoft Excel）を用いて sinx/x の値を計算し、有効数字内において1と なる範囲を確認した。例を上げると有効数字 2桁であれば3桁目（小数第2位）まで計算し た結果を四捨五入1.0しとなる範囲を確認した。 有効数字は高校理科でよく使用される1∼3桁 に加えて4桁の場合まで行った。 結果より1.04 10 る。 2 まで有効であるといえ 有効数字3桁の場合 結果をまとめると以下のようになる 有効数字 有効な角度（ ） 1桁 3.3 10 2桁 1.04 10 3桁 3.290 4桁 1.048 ４．感想とまとめ 今回、いろいろな有効数字において sin x ≈ x としてかまわない角度の範囲を確認 した。その結果、上記の結果を得た。 感想としては有効数字3桁以上では sin x ≈ x とみなせる範囲が狭いと感じた。この近似を 結果より有効数字3桁においては3.290 まで 前提とする高校物理の問題においてはどうか 有効といえる。 例を上げて考えてみる。 ヤングの干渉実験に関する問題では数m先 有効数字4桁の場合 のスクリーン上で数cm程度の幅内について明 暗を議論する。このときスリットからスクリー ンの明線方向への角度は1 未満であるから有 効数字3∼4桁でも全く問題が無い範囲といえ る。 振子については、高校物理では振子の運動 が単振動と見なせる範囲について扱う。振子 に関する問題では図が示されることがあるが、 これらの図で、振子の振れ角（鉛直方向と振 子のヒモのなす角）が30 ∼45 程度で描かれ ていることがある。有効数字2桁以上では実 際の振れ角よりも大きく描かれているとみな さなければならない。 結果より有効数字4桁においては1.0408 ま 以上 で有効といえる。 2
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