10 Erzwungene Schwingungen durch inhomogene Randbedingungen

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10 Erzwungene Schwingungen durch
inhomogene Randbedingungen
Schwingungen eines kontinuierlichen Systems lassen sich nicht nur durch verteilte Kräfte,
sondern auch durch zeitveränderliche Bindungen an den Rändern erzwingen. Treten keine
verteilten Kräfte auf, sind die partiellen Differentialgleichungen homogen, die bislang homogenen Randbedingungen sind jedoch durch entsprechende inhomogene Bedingungen zu
ersetzen.
Die Lösung dieses Problems erfolgt in zwei Schritten: Zunächst werden durch die Wahl
einer geeigneten Funktion w R(x, t) die Randbedingungen befriedigt, ohne auf die Erfüllung
der Differentialgleichung zu achten. Verwendet man als Lösungsansatz dann eine Summe
w + w R ) w H bestehend aus dieser und einer vorerst noch unbekannten Funktion w H(x, t),
erkennt man durch Einsetzen, dass die Randbedingungen homogen werden, während die
Differentialgleichung inhomogen wird. Damit konnte das vorliegende Problem auf eine bereits gelöste Problemstellung transformiert werden, den erzwungenen Schwingungen aufgrund zeitveränderlicher verteilter Kräfte. Die Lösung des transformierten Problems erfolgt
analog zum letzten Kapitel durch Modaltransformation und Superposition der homogenen
und einer weiteren partikulären Lösung.
Damit setzt sich die Gesamtlösung aus den freien Schwingungen und zwei verschiedenen
Partikulärlösungen zusammen, dem Lösungsansatz zur Befriedigung der inhomogenen
Randbedingungen sowie der partikulären Lösung entsprechend der rechten Seite der entstehenden inhomogenen Differentialgleichung. Auch hier wird das Langzeitverhalten bei
vorhandener innerer Dämpfung im Wesentlichen durch die Partikulärlösung bestimmt, da
die freien Schwingungen im Laufe der Zeit abklingen.
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10 Erzwungene Schwingungen durch inhom. Randbedingungen
10.1 Eindimensionale Wellengleichung
Homogene eindimensionale Wellengleichung mit inhomogenen Randbedingungen
Randwertproblem:
..
w + c 2wȀȀ
+ inhomogene Randbed. für w, wȀ
Transformation auf homogene Randbedingungen
Ansatz:
w(x, t) + w H(x, t) ) w R(x, t)
erfüllt inhomogene Randbedingungen
..
w H + c 2wȀȀH ) q(x, t)
..
mit q(x, t) + c 2wȀȀR * w R
+ homogene Randbed. für w H, wȀ H
10 Erzwungene Schwingungen durch inhom. Randbedingungen
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Lösung des transformierten Problems
Randwertproblem:
..
w H + c 2wȀȀH ) q(x, t) + homogene Randbed. für w H, wȀ H
Lösung durch Modaltransformation
Superposition:
w H(x, t) + w Hh(x, t) ) w Hp(x, t)
+ W T(x)y h(t) ) W T(x)y p(t)
Gesamtlösung durch Superposition
erzw. Schwingungen: w(x, t) + w H(x, t) ) w R(x, t)
+ w Hh(x, t) ) w Hp(x, t)) w R(x, t)
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10 Erzwungene Schwingungen durch inhom. Randbedingungen
10.2 Balkenbiegung
Hom. Differentialgleichung der Balkenbiegung mit inhomogenen Randbedingungen
Randwertproblem:
..
w ) EI wIV + 0
rA
+ inhomogene Randbed. für w, wȀ, wȀȀ, wȀȀȀ
Transformation auf homogene Randbedingungen
Ansatz:
w(x, t) + w H(x, t) ) w R(x, t)
erfüllt inhomogene Randbedingungen
10 Erzwungene Schwingungen durch inhom. Randbedingungen
..
+ q(x, t)
w H ) EI w IV
rA H
ǒ
Lösung des transformierten Problems
..
w H ) EI w IV
+ q(x, t) + homogene Randbed.
rA H
Lösung durch Modaltransformation
Superposition:
Ǔ
..
mit q(x, t) + * w R ) EI w IV
rA R
+ homogene Randbed. für w H, w HȀ , w HȀȀ , w HȀȀȀ
Randwertproblem:
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w H(x, t) + w Hh(x, t) ) w Hp(x, t)
+ W T(x)y h(t) ) W T(x)y p(t)
Gesamtlösung durch Superposition
erzw. Schwingungen: w(x, t) + w H(x, t) ) w R(x, t)
+ w Hh(x, t) ) w Hp(x, t)) w R(x, t)
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10 Erzwungene Schwingungen durch inhom. Randbedingungen
10.3 Zusammenfassung und Anmerkungen
eindim. Wellengleichung
(Saite, Stab, Torsion)
Balkenbiegung
a) Eigenlösungen
..
hom. Differentialgleichung
w + c 2wȀȀ
+ hom Randbedingungen
w, wȀ| Rand + 0
..
w ) EI wIV + 0
òA
w, wȀ, wȀȀ, wȀȀȀ | Rand + 0
Produktansatz
w(x, t) + W(x)y(t)
Ortsdifferentialgleichung
Ǔ
WȀȀ ) ǒw
c
2
W IV * g 4W + 0,
rA
g4 + w2
EI
W+0
Ansatz
w
W + C cos w
c x ) D sin c x
W + C cos gx ) D sin gx
) E cosh gx ) F sinh gx
+ Randbedingungen
W, WȀ| Rand + 0
W, WȀ, WȀȀ, WȀȀȀ | Rand + 0
ŕ
+ Normierung
L
W 2i dx + 1
0
Eigenfrequenzen
wk
Eigenformen
W k(x)
b) Freie Schwingungen
hom. Differentialgleichung
+ hom. Randbedingungen
+ Anfangsbedingungen
}siehe a)
.
.
w(x, 0) + w 0(x), w(x, 0) + w 0(x)
Modaltransformation
w(x, t) + W T(x)y(t)
Entkoppelte homogene
gewöhnliche Differentialgl.
+ modale Anfangsbedingungen
y ) W 2y + 0 mit W 2 + diagǊw 2kǋ
..
ŕ W w dx, y(0) + ŕ W w dx
L
y(0) +
.
L
0
0
.
0
0
homogene Lösung
modale Lösung
y k(t) + y 0k cos(w kt * ö k)
Rücktransformation
w(x, t) + W T(x)y(t)
Freie Schwingung
w(x, t) +
ȍk Wk(x)y0k cos(wkt * ök)
10 Erzwungene Schwingungen durch inhom. Randbedingungen
eindim. Wellengleichung
(Saite, Stab, Torsion)
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Balkenbiegung
c) Erzwungene Schwingungen durch verteilte Kräfte
..
w ) EI wIV + q(x, t)
rA
..
w + c 2wȀȀ ) q(x, t)
inhom. Differentialgleichung
+ hom. Randbedingungen
+ Anfangsbedingungen
Modaltransformation
w(x, t) + W T(x)y(t)
}siehe b)
Entkoppelte inhomogene
gewöhnliche Differentialgl.
+ modale Anfangsbedingungen
..
y ) W 2y
+ h(t) mit h(t) +
ŕ
siehe b)
L
W q dx
0
..
inhomogene Lösung
y h ) W 2y h + 0
..
y p ) W 2y p + h(t)
Superposition
y + yh ) yp
homogene Lösung
modale Lösung
Rücktransformation
w(x, t) + W T(x)y(t)
w(x, t) + W Ty h ) W Ty p
Erzwungene Schwingung
d) Erzwungene Schwingungen durch inhomogene Randbedingungen
hom. Differentialgleichung
siehe a)
w, wȀ| Rand 0 0
+ inhom. Randbedingungen
+ Anfangsbedingungen
w, wȀ, wȀȀ, wȀȀȀ | Rand 0 0
siehe b)
!
Ansatz zur Erfüllung der
R | Rand
w R, wȀR | Rand + w, wȀ| Rand w R,. . ., wȀȀȀ
Randbedingungen
!
+ w,. . ., wȀȀȀ | Rand
w(x, t) + w R(x, t) ) w H(x, t)
inhom. Differentialgleichung
+ hom. Randbedingungen
+ Anfangsbedingungen
Superposition
w(x, t) + w R ) w H
Erzwungene Schwingung
..
..
w H + c 2 wȀȀH ) c 2 wȀȀR * w R
q(x, t)
..
w H ) EI w IV
rA H
..
+ *w R * EI w IV
rA R
Lösung siehe c)
w(x, t) + w Hh ) w Hp ) w R
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10 Erzwungene Schwingungen durch inhom. Randbedingungen

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