(1) f(x) (2) - SUUGAKU.JP

年番号
1
氏名
複素数平面上の点 0 を中心とする半径 2 の円 C 上に点 z がある．a を実数の定数とし，
w = z2 ¡ 2az + 1
とおく．
(1) w
2
を z の実部 x と a を用いて表せ．
(2) 点 z が C 上を一周するとき， w の最小値を a を用いて表せ．
（北海道大学 2016 ）
2
a > 0 に対し，関数 f(x) が
f(x) =
Z
a
¡a
S
e¡x
+ f(t) sin tk dt
2a
をみたすとする．
(1) f(x) を求めよ．
(2) 0 < a 5 2¼ において，
g(a) =
Z
a
¡a
f(t) sin t dt
の最小値とそのときの a の値を求めよ．
（北海道大学 2016 ）
3
机のひきだし A に 3 枚のメダル，ひきだし B に 2 枚のメダルが入っている．ひきだし A の各メダルの色は
金，銀，銅のどれかであり，ひきだし B の各メダルの色は金，銀のどちらかである．
(1) ひきだし A のメダルの色が 2 種類である確率を求めよ．
(2) ひきだし A，B をあわせたメダルの色が 2 種類である確率を求めよ．
(3) ひきだし A，B をあわせてちょうど 3 枚の金メダルが入っていることがわかっているとき，ひきだし A の
メダルの色が 2 種類である確率を求めよ．
（北海道大学 2016 ）
4
次の問いに答えよ．
(1) 次の方程式が異なる 3 つの 0 でない実数解をもつことを示せ．
x3 + x2 ¡ 2x ¡ 1 = 0
Ý
1
(2) 方程式 1 の 3 つの実数解を s; t; u とし，数列 fan g を
an =
sn¡1
tn¡1
un¡1
+
+
(s ¡ t)(s ¡ u)
(t ¡ u)(t ¡ s)
(u ¡ s)(u ¡ t)
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定める．このとき，
an+3 + an+2 ¡ 2an+1 ¡ an = 0
(n = 1; 2; 3; Ý)
が成り立つことを示せ．
(3) (2) の an がすべて整数であることを示せ．
（北海道大学 2016 ）
5
空間の 2 点 A(0; 0; 2)，B(0; 1; 3) を通る直線を ` とし，2 点 C(1; 0; 0)，D(1; 0; 1) を通る直線を m
とする．a を定数として，` 上にも m 上にもない点 P(s; t; a) を考える．
(1) P から ` に下ろした垂線と ` の交点を Q とし，P から m に下ろした垂線と m の交点を R とする．Q，R
の座標をそれぞれ s; t; a を用いて表せ．
(2) P を中心とし，` と m がともに接するような球面が存在するための条件を s; t; a の関係式で表せ．
(3) s; t と定数 a が (2) の条件をみたすとき，平面上の点 (s; t) の軌跡が放物線であることを示し，その焦
点と準線を a を用いて表せ．
（北海道大学 2016 ）

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