2 + (y ¡ 1) - SUUGAKU.JP

年番号
1
3
連立不等式
U
y 5 1 ¡ x2
(x ¡ 1)2 + (y ¡ 1)2 5 1
自然数 n に対して，0 以上の実数を定義域とする x の関数 Rn (x) を
Rn (x) =
の表す領域を D とする．点 P(x; y) が領域 D 内を動くとき，0 5 a 5 2 を満たす定数
a に対して ax + y の最大値を M，最小値を m とする．次の問いに答えよ．
(1) 次の不等式を示せ．
0
(2) M および m をそれぞれ a を用いて表せ．
（名古屋市立大学 2015 ）
n¡1
P
1
¡
(¡xp )k
p
1+x
k=0
とする．ただし，p は正の定数である．以下の問いに答えよ．
Z
(1) 領域 D を図示せよ．
氏名
1
Rn (x) dx <
1
pn + 1
(2) 次の等式を示せ．
Z
0
1
1
P
(¡1)k
dx
=
p
1+x
k=0 pk + 1
(3) 以上の結果を利用して次の無限級数の和を求めよ．
2
1
1
1
1
+
¡
+
¡Ý
2
3
4
5
1
1
1
1
+
¡
+
¡Ý
’ S2 = 1 ¡
3
5
7
9
右図に示す 8 つの領域にわかれた円を塗り分ける．そのさ
‘ S1 = 1 ¡
い各領域には 1 つの色を塗るものとし，境界を共有する隣
±
り合った領域には互いに異なる色を塗る．ただし，円を 120
（名古屋市立大学 2015 ）
の倍数の角度で回転させて一致する塗り方はすべて同じと
みなす．次の問いに答えよ．
(1) 異なる 8 色を用いた塗り方は何通りあるか．
(2) 異なる 7 色を用いた塗り方は何通りあるか．
(3) 異なる 6 色を用いた塗り方は何通りあるか．
（名古屋市立大学 2015 ）
4
¡¡! ¡¡!
空間内の点 O，A1 ，A2 ，B，C を考える．このとき，ベクトル OA1 ，OA2 はともに長
¼
; をなす．また点 B は O，A1 ，A2 を含む平面 H 上に存
さが 1 で，角度 µ #0 < µ 5
2
¡!
¡¡! ¡!
¡¡! ¡!
在せず，ベクトル OB は，OA1 ¢ OB = c1 ，OA2 ¢ OB = c2 を満たす（ただし c1 ; c2 は
¡!
¡!
¡¡!
¡¡!
いずれも 0 でない実数であるとする）．さらにベクトル OC は，OC = c1 OA1 + c2 OA2
¡!
のように表され，かつベクトル CB と垂直である．このとき，次の問いに答えよ．
(1) 角度 µ を求めよ．
¡!
¡!
¡!
(2) jOBj2 > c1 2 + c2 2 が成り立つことを示せ．ただし，jOBj はベクトル OB の長さを表す．
¡!
¡¡!
¡¡! ¡¡!
¡¡!
(3) c1 = c2 = c，jOBj = b とする．また，OD1 = cOA1 ，OD2 = cOA2 となるように，
空間上に点 D1 ，D2 を与える．四面体 D1 D2 CB の体積を，b; c を用いて表せ．
(4) (3) の条件の下で 3 点 D1 ，D2 ，B により定まる平面に対し，点 C から垂線を引いたと
き，垂線と平面の交点を T とする．このとき，CT の長さを b; c で表せ．
（名古屋市立大学 2015 ）

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