1 ≦ k ≦ 1 2 - SUUGAKU.JP

年番号
1
k を定数とする．関数 f(µ) = cos 2µ + 4k sin µ + 3k ¡ 3 について，次の
3
問いに答えよ．
数列 fan g を
a1 = 1; an+1 = an ¡ log5 2n
1
3
(1) f # ¼; ; f # ¼; を求めよ．
2
2
(2) x = sin µ として，f(µ) を x で表せ．
氏名
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定める．次の問いに答えよ．
(3) ¡1 5 k 5 1 のとき，f(µ) の最大値を求めよ．
(4) すべての µ に対して常に f(µ) 5 0 となる k の値の範囲を求めよ．
(1) 数列 fan g の一般項を求めよ．
(2) 5an < 10¡14 を満たす最小の n を求めよ．ただし，log10 2 = 0:3010 とする．
（県立広島大学 2012 ）
2
p
p
直線 ` : (1+ 3)x+(1¡ 3)y = 4 が，曲線 C : x2 +y2 = r2 (r > 0; x = 0)
（県立広島大学 2012 ）
4
m を定数とし，2 つの曲線
y = f(x) = ¡x2 + mx ¡ 3;
に接する．次の問いに答えよ．
(1) r の値を求めよ．
(2) 点 A(a; 1) が直線 ` 上の点であるとき，a の値を求めよ．
(3) (2) で求めた点 A から曲線 C に引いた ` 以外の接線 m の方程式を求めよ．
(4) 曲線 C と 2 つの接線 `; m で囲まれた図形の面積を求めよ．
（県立広島大学 2012 ）
y = g(x) = x3 ¡ x
が，点 A(a; f(a)) を通り，A で共通の接線 ` をもつ．次の問いに答えよ．
(1) y = g(x) のグラフをかけ．
(2) a; m の値と，接線 ` の方程式を求めよ．
Z3
(3) 積分
jf(x)j dx の値を求めよ．
0
（県立広島大学 2012 ）
5
7
次の問いに答えよ．
(1) 3 次式 x3 + ax2 + bx + c を x ¡ 1 で割ったときの商と余りを求めよ．
(2) 3 次方程式
x3
+
ax2
xy 平面上に 2 点
A(3 cos t; 3 sin t); B(¡ sin 3t; cos 3t)
(0 5 t 5 2¼)
+ bx + c = 0 の解が 1; cos µ; sin µ であるとき，
がある．次の問いに答えよ．
a; b; c を µ を用いて表せ．
(3) (2) において，µ が区間 [0; 2¼] を動くとき，点 (a; b) が描く曲線を図示
せよ．
（県立広島大学 2011 ）
¡! ¡!
¼
(1) 原点を O とするとき，OA と OB のなす角が
になる t の値を求めよ．
6
¡!
(2) jABj の最大値と最小値を求めよ．
(3) 三角形 OAB の面積の最大値を求めよ．
（県立広島大学 2011 ）
6
初項 a，公比 r の等比数列 fan g において
a1 < a2 ;
a1 + a2 + a3 = 42;
8
a1 a2 a3 = 512
不等式
log2 (2y ¡ 1) ¡ 1 = log2 (1 ¡ x) = log2 y ¡ log2 x ¡ 2
とする．ただし，a; r は実数である．
の表す xy 平面上の領域を D とする．
(1) 初項 a と公比 r を求めよ．
(2) Sn = a1 + a2 + Ý + an (n = 1; 2; 3; Ý) とするとき，Sn > 105 を満た
す最小の n を求めよ．ただし，log10 2 = 0:3010; log10 3 = 0:4771 とする．
(1) D を図示せよ．
(2) D の面積を求めよ．
(3) 点 (x; y) が D を動くとき，z = xy の最大値を求めよ．
（県立広島大学 2011 ）
（県立広島大学 2011 ）
9
大小二つのサイコロを同時に振り，大きいサイコロの出た目を a，小さいサ
11 数列 fan g を
イコロの出た目を b とする．次の確率を求めよ．
a1 = 1; a2 = 1; an+2 = 7an+1 + an
(1) a < 5; b < 5; a + b > 5 を満たす確率
(2) a; b; 5 を 3 辺とする三角形が鈍角三角形になる確率
(3) 二つの 2 次方程式
x2 + ax + b = 0;
(n = 1; 2; 3; Ý)
によって定める．次の問いに答えよ．
(1) an+3 を an ; an+1 で表せ．
(2) a3n (n = 1; 2; 3; Ý) が偶数であることを数学的帰納法で証明せよ．
x2 + 2abx + 16 = 0
(3) a4n (n = 1; 2; 3; Ý) が 3 の倍数となることを示せ．
のうち，少なくとも一方が実数解をもつ確率
（県立広島大学 2010 ）
（県立広島大学 2010 ）
10 三角形 OAB において，
12 放物線 y =
¡! ¡
! ¡! ¡
!
AB = 4; OA = 5; OB = 6; ÎAOB = µ; OA = a ; OB = b
とする．
1 2
x について，次の問いに答えよ．
2
1
; における接線 `1 の方程式を求めよ．
2
(2) 点 P を通り直線 `1 に直交する直線を `2 とする．直線 `2 と x 軸との交点 A
(1) 点 P#1;
の座標を求めよ．
(1) cos µ の値を求めよ．
(3) 点 A を中心とし，直線 `1 に接する円の方程式を求めよ．
(2) 三角形 OAB の面積を求めよ．
¡
! ¡
!
(3) 内積 a ¢ b を求めよ．
¡
!
¡
!
(4) t を実数とするとき，j a + t b j の最小値とそのときの t の値を求めよ．
(4) (3) の円と x 軸との交点のうち原点に近い方の点 B の座標を求めよ．
（県立広島大学 2010 ）
(5) 放物線，円弧 BP および x 軸で囲まれた図形の面積を求めよ．
（県立広島大学 2010 ）

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