1 の数字を書いたカードが 1 枚，2の数字

年番号
1
n を 1 以上の整数とする．袋の中に，1 の数字を
3
氏名
下図のように，南北に 7 本，東西に 6 本の道が
書いたカードが 1 枚，2 の数字を書いたカードが
ある．ただし，C 地点は通れないものとする．こ
2 枚，3 の数字を書いたカードが 3 枚入っている．
のとき，次の問いに答えよ．
この袋の中から，無作為にカードを 1 枚取り出
して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰
り返す．次の問いに答えよ．
(1) この試行を n 回繰り返したとき，記録された n
個の数字すべての積を Rn とする．Rn が 3 で割
り切れない確率と，Rn が 6 で割り切れる確率を
n を用いて表せ．
(2) この試行を n 回繰り返したとき，記録された n
個の数字の合計を Sn とし，Sn が偶数である確
率を pn とする．pn+1 を pn を用いて表し，数列
(1) O 地点を出発し，A 地点を通り，P 地点へ最短
距離で行く道順は何通りあるか．
(2) O 地点を出発し，B 地点を通り，P 地点へ最短
距離で行く道順は何通りあるか．
fpn g の一般項を求めよ．
(3) O 地点を出発し，A 地点と B 地点の両方を通
（和歌山大学 2015 ）
り，P 地点へ最短距離で行く道順は何通りある
か．なお，同じ道を何度通ってもよいとする．
2
n を 1 以上の整数とする．袋の中に，1 の数字を
書いたカードが 1 枚，2 の数字を書いたカードが
2 枚，3 の数字を書いたカードが 3 枚入っている．
この袋の中から，無作為にカードを 1 枚取り出
して数字を記録し，もとに戻すという試行を繰
り返す．次の問いに答えよ．
(1) この試行を n 回繰り返したとき，記録された n
個の数字すべての積を Rn とする．Rn が 3 で割
り切れない確率と，Rn が 6 で割り切れる確率を
n を用いて表せ．
(2) この試行を n 回繰り返したとき，記録された n
個の数字の合計を Sn とし，Sn が偶数である確
率を pn とする．pn+1 を pn を用いて表し，数列
fpn g の一般項を求めよ．
（和歌山大学 2015 ）
（島根大学 2015 ）
4
下図のように，南北に 7 本，東西に 6 本の道が
6
A さんは 5 円硬貨を 3 枚，B さんは 5 円硬貨を 1
ある．ただし，C 地点は通れないものとする．こ
枚と 10 円硬貨を 1 枚持っている．2 人は自分が
のとき，次の問いに答えよ．
持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞ
れが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額
が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た
硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合
計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやり
とりは行わない．このゲームについて，以下の
問いに答えよ．
(1) A さんが B さんに勝つ確率 p，および引き分け
(1) O 地点を出発し，A 地点を通り，P 地点へ最短
距離で行く道順は何通りあるか．
(2) O 地点を出発し，B 地点を通り，P 地点へ最短
となる確率 q をそれぞれ求めよ．
(2) ゲーム終了後に A さんが持っている硬貨の合計
金額の期待値 E を求めよ．
距離で行く道順は何通りあるか．
(3) O 地点を出発し，A 地点と B 地点の両方を通
り，P 地点へ最短距離で行く道順は何通りある
か．なお，同じ道を何度通ってもよいとする．
（島根大学 2015 ）
5
A さんは 5 円硬貨を 3 枚，B さんは 5 円硬貨を 1
枚と 10 円硬貨を 1 枚持っている．2 人は自分が
持っている硬貨すべてを一度に投げる．それぞ
れが投げた硬貨のうち表が出た硬貨の合計金額
が多い方を勝ちとする．勝者は相手の裏が出た
硬貨をすべてもらう．なお，表が出た硬貨の合
計金額が同じときは引き分けとし，硬貨のやり
とりは行わない．このゲームについて，以下の
問いに答えよ．
(1) A さんが B さんに勝つ確率 p，および引き分け
となる確率 q をそれぞれ求めよ．
(2) ゲーム終了後に A さんが持っている硬貨の合計
金額の期待値 E を求めよ．
（九州大学 2014 ）
（九州大学 2014 ）
7
xy 平面の格子点上に駒「銀」が 1 枚ある．ただ
8
南北に平行に走る 5 本の同じ長さの線分が等間
し，格子点とは x 座標と y 座標がともに整数とな
隔で並んでいる．西から順に，各線分の南の端点
る点である．1 回の操作で，次の (a)，(b)，(c)，
は，A0 ，B0 ，C0 ，D0 ，E0 であり，北の端点は，
(d)，(e) のいずれか 1 つを等しい確率で選び，駒
A，B，C，D，E である．各線分を 4 等分する
「銀」を移動させるものとする（下図参照）．
点を，南から順に，1 番地，2 番地，3 番地と呼
(a) (x; y) から (x; y + 1) に移動させる．
ぶ．隣り合う線分の同じ番地同士を結ぶ線分を
(b) (x; y) から (x+1; y+1) に移動させる．
橋と呼ぶ．人は南の端点のいずれかをスタート
(c) (x; y) から (x ¡ 1; y + 1) に移動させる．
地点として北へ向かって歩き始め，橋に出会わ
なければそのまま北へ向かって歩き続け，橋に出
(d) (x; y) から (x¡1; y ¡1) に移動させる．
会えば橋で結ばれた隣の線分に渡ってその線分
(e) (x; y) から (x + 1; y ¡ 1) に移動させる．
を北へ向かって歩く．必要ならこれを繰り返し，
最初に駒「銀」は原点 (0; 0) にあるものとし，
人は最終的に北の端点のゴール地点に到着する．
以下の問いに答えよ．
D に家があるとする．5 つの各スタート地点か
(1) 3 回の操作の後，駒が (1; 1) にある確率を求
ら家に到着することができるそれぞれの確率を，
めよ．
以下の場合に，求めなさい．
(2) n 回の操作の後，駒がある点の y 座標は n ¡ 1
とならないことを示せ．
(3) n 回の操作の後，駒が (n ¡ 1; 0) にある確率を
(1) 同様に確からしく，1 番地に 1 本の橋を置く場合
(2) 同様に確からしく，たがいに独立に，1 番地に 1
本，2 番地に 1 本，3 番地に 1 本の橋を置く場合
求めよ．
（埼玉大学 2014 ）
9
大小合わせて 2 個のサイコロがある．サイコロ
を投げると，1 から 6 までの整数の目が等しい確
率で出るとする．
(1) 2 個のサイコロを同時に投げる．出た目の差の
（埼玉大学 2014 ）
絶対値について，その期待値を求めよ．
(2) 2 個のサイコロを同時に投げ，出た目が異なる
ときはそこで終了する．出た目が同じときには
小さいサイコロをもう一度だけ投げて終了する．
終了時に出ている目の差の絶対値について，そ
の期待値を求めよ．
（名古屋大学 2014 ）
10 n を自然数とする．1 から 2n までの番号をつけ
た 2n 枚のカードを袋に入れ，よくかき混ぜて n
枚を取り出し，取り出した n 枚のカードの数字
の合計を A，残された n 枚のカードの数字の合
計を B とする．このとき，以下の問に答えよ．
(1) n が奇数のとき，A と B が等しくないことを
示せ．
(2) n が偶数のとき，A と B の差は偶数であること
を示せ．
(3) n = 4 のとき，A と B が等しい確率を求めよ．
（神戸大学 2014 ）

Download Report