1 3 a; b は実数で,関数 わっているとする.O1 ,O2 は線分 AB 上にはな f(x) = 23x ¡ a22x + a2x+1 ¡ b のグラフは x 軸と相異なる 3 点 0; ®; ¯ (® < ¯) O1 ,O2 を中心とする 2 つの円が 2 点 A,B で交 いものとする.このとき,次の各問いに答えよ. (1) 線分 AB は直線 O1 O2 と直交していることを証 明せよ. で交わるものとする.このとき,次の各問いに (2) 点 B を通り線分 O1 O2 と平行な直線 g は,円 O1 答えよ. と接していないことを証明せよ. (1) 2x = t とおいて,f(x) を t で表した関数を g(t) とする.g(t) を求めよ. ( 鹿児島大学 2007 ) (2) b および ® + ¯ を,a を用いて表せ. (3) ®; ¯ が Z ¯ ® # 2 t + 1; dt = 2(¯ ¡ ®) 3 を満たすとき,a の値を求めよ.さらに,そのと 4 次の各問いに答えよ. (1) a > 0 とする.項数 3 の 2 つの有限数列 きの ®; ¯ の値を求めよ. ( 鹿児島大学 2007 ) 4; a; b および b; c; 36 はともに等比数列であり, a; b; c 2 a; b; c; d は実数で,a > 0 とする.関数 は等差数列とする.このとき,a; b; c の値を求 めよ. 3 2 f(x) = ax + bx + cx + d について,次の各問いに答えよ. (1) f(x) が極値を持つための条件を,a; b; c; d を用いて表せ. (2) f(x) が常に変曲点を持つことを示し ,その変 曲点を求めよ. (2) (1) で 求めた a に 対し ,数列 fan g は a1 = 4; a2 = a の等比数列とし,数列 fbn g は b1 = 4 を満たし,その階差数列が fan g に等しいとする. このとき,数列 fbn g の一般項 bn を求めよ. (3) 初項を p とする数列 fpn g において,その階差 数列が元の数列と等しいとする.このとき,こ の数列の一般項 pn を求めよ. ( 鹿児島大学 2007 ) ( 鹿児島大学 2007 ) 5 7 次の各問いに答えよ. と す る 四 面 体 ABCD に つ い て ,ベ クト ル ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! a ; b ; c ; d を用いて ,次の各問いに 答 (1) 微 分 可 能な 2 つ の 関 数 f(x); g(x) の 積 f(x)g(x) の導関数を定義に従って求めよ. えよ. (2) a を実数とするとき,関数 y = (1 + x2 )a の導 関数を求めよ. x (3) 関数 y = B の増減,グラフの凹凸,漸 1 + x2 近線を調べ,グラフの概形をかけ. ¡ ! (1) 4ABC の重心 G の位置ベクトル g と,4BCD ¡ ! の重心 H の位置ベクトル h を求めよ. (2) 2 点 D,G を通る直線 `1 の方程式を求めよ.2 点 A,H を通る直線 `2 の方程式を求めよ. (4) n が正の整数であるとき,次の不等式が成り立 つことを示せ. C ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! 4 点 A( a ),B( b ),C( c ),D( d ) を 頂 点 (3) (2) の 2 直線 `1 ; `2 は交点を持つことを示し , その交点の位置ベクトルを求めよ. 2 3 n 1 +Ý+ B 1 + n 2 ¡1 < p + p + p 2 5 10 1 + n2 ( 鹿児島大学 2007 ) ( 鹿児島大学 2007 ) 8 6 次のように,円 C1 は直交座標に関する方程式で 表され,曲線 C2 は極方程式で表されている. 次の各問いに答えよ. (1) 10 桁の自然数で,各桁の数の合計がちょうど 3 になるものはいくつあるか. (2) 10 桁以下の自然数で,各桁の数の合計がちょう ど 4 になるものはいくつあるか. (3) 右 か ら 読 ん で も 左 か ら 読 ん で も 同じ 数 に な る 自 然 数 を「 回 文 数 」と 呼 ぶ .例 え ば 1233321; 467764 は回文数であるが,12333210 は回文数ではない.10 桁以下の自然数の中に回 文数はいくつあるか. C1 : x2 + y2 + 6x ¡ 2y + 7 = 0 C2 : r = p 1 ¡ 2 sin µ このとき,次の各問いに答えよ. (1) 円 C1 を媒介変数を用いて表せ. (2) 曲線 C2 はどんな曲線になるか.また,その概 形もかけ. (3) 円 C1 の中心を通り曲線 C2 に接する直線の方程 式を求めよ. ( 鹿児島大学 2007 ) ( 鹿児島大学 2007 ) 9 A チームと B チームは毎日 1 回野球の試合をす る.毎回勝敗を決定し,引き分けはないものとす る.ど ちらかのチームが 3 連勝したときにその チームの優勝とする.1 回目の試合では,A チー ムの勝つ確率は B チームの勝つ確率の 2 倍であ る.また,2 回目の試合からは,A チームの勝つ 10 次の各問いに答えよ. (1) 方程式 x3 ¡ 1 = 0 の虚数解の一つを ! とする とき,!4 + !2 + 1 の値を求めよ. (2) ¡2 5 m < 2 かつ ¡2 < n 5 2 であるような 整数の組 (m; n) のうち,条件「 1 5 m または n < 0 」を満たすものの個数を求めよ. 確率は,前日の試合で勝ったときは B チームの (3) 半径 r の円 O の外部の点 P からこの円に引いた 勝つ確率の 2 倍であり,負けたときは B チーム 1 の勝つ確率の 倍である.このとき,次の各問 3 いに答えよ. 接線の接点の一つを T とする.T を端点とする (1) 1 回目の試合で A チームが勝つ確率 PA と B チームが勝つ確率 PB を求めよ. (2) 前日の試合で A チームが勝ったとき,今日の試 合で A チームが勝つ確率 PAA と,前日の試合で 円 O の直径 TQ をとる.三角形 PTQ の辺 PQ と 円 O との交点を R とするとき,PR の長さを求 めよ.ただし,ÎQPT = 30± とする. (4) 正六角形の頂点の中から異なる 3 点を選んで三 角形を作る.この三角形が正三角形にも二等辺 三角形にもならない確率を求めよ. B チームが勝ったとき,今日の試合で B チーム ( 鹿児島大学 2008 ) が勝つ確率 PBB を求めよ. (3) 4 回以内の試合で優勝が決まる確率を求めよ. (4) 5 回目の試合で優勝が決まったことがわかって いる.このとき A チームが優勝している確率を 11 関数 f(x) は f(0) = 0 および f(¡1) = 求めよ. ( 鹿児島大学 2007 ) f(1) = 3a を満たす 2 次関数とし ,関数 g(x) を g(x) = Z x 0 f(t) dt + 4 a とする.ただし,a は 0 でない定数である.この とき,次の各問いに答えよ. (1) 関数 f(x) を求めよ. (2) 直線 y = 3x + 2 が曲線 y = g(x) に接するよ うに定数 a の値を定めよ.さらに,その接点の 座標を求めよ. ( 鹿児島大学 2008 )
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