f(x) - SUUGAKU.JP

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a; b は実数で，関数
わっているとする．O1 ，O2 は線分 AB 上にはな
f(x) = 23x ¡ a22x + a2x+1 ¡ b
のグラフは x 軸と相異なる 3 点 0; ®; ¯ (® < ¯)
O1 ，O2 を中心とする 2 つの円が 2 点 A，B で交
いものとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1) 線分 AB は直線 O1 O2 と直交していることを証
明せよ．
で交わるものとする．このとき，次の各問いに
(2) 点 B を通り線分 O1 O2 と平行な直線 g は，円 O1
答えよ．
と接していないことを証明せよ．
(1) 2x = t とおいて，f(x) を t で表した関数を
g(t) とする．g(t) を求めよ．
（鹿児島大学 2007 ）
(2) b および ® + ¯ を，a を用いて表せ．
(3) ®; ¯ が
Z
¯
®
#
2
t + 1; dt = 2(¯ ¡ ®)
3
を満たすとき，a の値を求めよ．さらに，そのと
4
次の各問いに答えよ．
(1) a > 0 とする．項数 3 の 2 つの有限数列
きの ®; ¯ の値を求めよ．
（鹿児島大学 2007 ）
4; a; b および
b; c; 36
はともに等比数列であり，
a; b; c
2
a; b; c; d は実数で，a > 0 とする．関数
は等差数列とする．このとき，a; b; c の値を求
めよ．
3
2
f(x) = ax + bx + cx + d
について，次の各問いに答えよ．
(1) f(x) が極値を持つための条件を，a; b; c; d
を用いて表せ．
(2) f(x) が常に変曲点を持つことを示し，その変
曲点を求めよ．
(2) (1) で求めた a に対し，数列 fan g は a1 =
4; a2 = a の等比数列とし，数列 fbn g は b1 = 4
を満たし，その階差数列が fan g に等しいとする．
このとき，数列 fbn g の一般項 bn を求めよ．
(3) 初項を p とする数列 fpn g において，その階差
数列が元の数列と等しいとする．このとき，こ
の数列の一般項 pn を求めよ．
（鹿児島大学 2007 ）
（鹿児島大学 2007 ）
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次の各問いに答えよ．
とする四面体 ABCD について，ベクトル
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
a ; b ; c ; d を用いて，次の各問いに答
(1) 微分可能な 2 つの関数 f(x); g(x) の積
f(x)g(x) の導関数を定義に従って求めよ．
えよ．
(2) a を実数とするとき，関数 y = (1 + x2 )a の導
関数を求めよ．
x
(3) 関数 y = B
の増減，グラフの凹凸，漸
1 + x2
近線を調べ，グラフの概形をかけ．
¡
!
(1) 4ABC の重心 G の位置ベクトル g と，4BCD
¡
!
の重心 H の位置ベクトル h を求めよ．
(2) 2 点 D，G を通る直線 `1 の方程式を求めよ．2
点 A，H を通る直線 `2 の方程式を求めよ．
(4) n が正の整数であるとき，次の不等式が成り立
つことを示せ．
C
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
4 点 A( a )，B( b )，C( c )，D( d ) を頂点
(3) (2) の 2 直線 `1 ; `2 は交点を持つことを示し，
その交点の位置ベクトルを求めよ．
2
3
n
1
+Ý+ B
1 + n 2 ¡1 < p + p + p
2
5
10
1 + n2
（鹿児島大学 2007 ）
（鹿児島大学 2007 ）
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次のように，円 C1 は直交座標に関する方程式で
表され，曲線 C2 は極方程式で表されている．
次の各問いに答えよ．
(1) 10 桁の自然数で，各桁の数の合計がちょうど 3
になるものはいくつあるか．
(2) 10 桁以下の自然数で，各桁の数の合計がちょう
ど 4 になるものはいくつあるか．
(3) 右から読んでも左から読んでも同じ数に
なる自然数を「回文数」と呼ぶ．例えば
1233321; 467764 は回文数であるが，12333210
は回文数ではない．10 桁以下の自然数の中に回
文数はいくつあるか．
C1 : x2 + y2 + 6x ¡ 2y + 7 = 0
C2 : r = p
1
¡
2 sin µ
このとき，次の各問いに答えよ．
(1) 円 C1 を媒介変数を用いて表せ．
(2) 曲線 C2 はどんな曲線になるか．また，その概
形もかけ．
(3) 円 C1 の中心を通り曲線 C2 に接する直線の方程
式を求めよ．
（鹿児島大学 2007 ）
（鹿児島大学 2007 ）
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A チームと B チームは毎日 1 回野球の試合をす
る．毎回勝敗を決定し，引き分けはないものとす
る．どちらかのチームが 3 連勝したときにその
チームの優勝とする．1 回目の試合では，A チー
ムの勝つ確率は B チームの勝つ確率の 2 倍であ
る．また，2 回目の試合からは，A チームの勝つ
10 次の各問いに答えよ．
(1) 方程式 x3 ¡ 1 = 0 の虚数解の一つを ! とする
とき，!4 + !2 + 1 の値を求めよ．
(2) ¡2 5 m < 2 かつ ¡2 < n 5 2 であるような
整数の組 (m; n) のうち，条件「 1 5 m または
n < 0 」を満たすものの個数を求めよ．
確率は，前日の試合で勝ったときは B チームの
(3) 半径 r の円 O の外部の点 P からこの円に引いた
勝つ確率の 2 倍であり，負けたときは B チーム
1
の勝つ確率の
倍である．このとき，次の各問
3
いに答えよ．
接線の接点の一つを T とする．T を端点とする
(1) 1 回目の試合で A チームが勝つ確率 PA と B
チームが勝つ確率 PB を求めよ．
(2) 前日の試合で A チームが勝ったとき，今日の試
合で A チームが勝つ確率 PAA と，前日の試合で
円 O の直径 TQ をとる．三角形 PTQ の辺 PQ と
円 O との交点を R とするとき，PR の長さを求
めよ．ただし，ÎQPT = 30± とする．
(4) 正六角形の頂点の中から異なる 3 点を選んで三
角形を作る．この三角形が正三角形にも二等辺
三角形にもならない確率を求めよ．
B チームが勝ったとき，今日の試合で B チーム
（鹿児島大学 2008 ）
が勝つ確率 PBB を求めよ．
(3) 4 回以内の試合で優勝が決まる確率を求めよ．
(4) 5 回目の試合で優勝が決まったことがわかって
いる．このとき A チームが優勝している確率を
11 関数 f(x) は f(0) = 0 および f(¡1) =
求めよ．
（鹿児島大学 2007 ）
f(1) = 3a を満たす 2 次関数とし，関数 g(x)
を
g(x) =
Z
x
0
f(t) dt +
4
a
とする．ただし，a は 0 でない定数である．この
とき，次の各問いに答えよ．
(1) 関数 f(x) を求めよ．
(2) 直線 y = 3x + 2 が曲線 y = g(x) に接するよ
うに定数 a の値を定めよ．さらに，その接点の
座標を求めよ．
（鹿児島大学 2008 ）

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