f(x)=23x ¡ a22x + a2 のグラフは x 軸と相異なる 3 点 0

1
2
a; b は実数で，関数
f(x) = 23x ¡ a22x + a2x+1 ¡ b
a; b; c; d は実数で，a > 0 とする．関数
f(x) = ax3 + bx2 + cx + d
のグラフは x 軸と相異なる 3 点 0; ®; ¯ (® < ¯) で交わるものとする．こ
のとき，次の各問いに答えよ．
について，次の各問いに答えよ．
(1) f(x) が極値を持つための条件を，a; b; c; d を用いて表せ．
(1) 2x = t とおいて，f(x) を t で表した関数を g(t) とする．g(t) を求めよ．
(2) f(x) が常に変曲点を持つことを示し，その変曲点を求めよ．
(2) b および ® + ¯ を，a を用いて表せ．
（鹿児島大学 2007 ）
(3) ®; ¯ が
Z
¯
®
#
2
t + 1; dt = 2(¯ ¡ ®)
3
を満たすとき，a の値を求めよ．さらに，そのときの ®; ¯ の値を求めよ．
（鹿児島大学 2007 ）
3
O1 ，O2 を中心とする 2 つの円が 2 点 A，B で交わっているとする．O1 ，O2
は線分 AB 上にはないものとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1) 線分 AB は直線 O1 O2 と直交していることを証明せよ．
(2) 点 B を通り線分 O1 O2 と平行な直線 g は，円 O1 と接していないことを証
明せよ．
（鹿児島大学 2007 ）
4
5
次の各問いに答えよ．
(1) a > 0 とする．項数 3 の 2 つの有限数列
4; a; b および
次の各問いに答えよ．
(1) 微分可能な 2 つの関数 f(x); g(x) の積 f(x)g(x) の導関数を定義に従っ
て求めよ．
b; c; 36
(2) a を実数とするとき，関数 y = (1 + x2 )a の導関数を求めよ．
x
(3) 関数 y = B
の増減，グラフの凹凸，漸近線を調べ，グラフの概形
1 + x2
をかけ．
はともに等比数列であり，
a; b; c
(4) n が正の整数であるとき，次の不等式が成り立つことを示せ．
は等差数列とする．このとき，a; b; c の値を求めよ．
(2) (1) で求めた a に対し，数列 fan g は a1 = 4; a2 = a の等比数列とし，数
列 fbn g は b1 = 4 を満たし，その階差数列が fan g に等しいとする．このと
き，数列 fbn g の一般項 bn を求めよ．
(3) 初項を p とする数列 fpn g において，その階差数列が元の数列と等しいと
する．このとき，この数列の一般項 pn を求めよ．
（鹿児島大学 2007 ）
C
1
2
3
n
1 + n2 ¡ 1 < p + p + p
+Ý+ B
2
5
10
1 + n2
（鹿児島大学 2007 ）
6
7
次の各問いに答えよ．
(1) 10 桁の自然数で，各桁の数の合計がちょうど 3 になるものはいくつあるか．
(2) 10 桁以下の自然数で，各桁の数の合計がちょうど 4 になるものはいくつあ
るか．
(3) 右から読んでも左から読んでも同じ数になる自然数を「回文数」と呼ぶ．例
えば 1233321; 467764 は回文数であるが，12333210 は回文数ではない．10
桁以下の自然数の中に回文数はいくつあるか．
¡
!
¡
!
¡
!
¡
!
4 点 A( a )，B( b )，C( c )，D( d ) を頂点とする四面体 ABCD について，
¡
! ¡
! ¡
! ¡
!
ベクトル a ; b ; c ; d を用いて，次の各問いに答えよ．
¡
!
(1) 4ABC の重心 G の位置ベクトル g と，4BCD の重心 H の位置ベクトル
¡
!
h を求めよ．
(2) 2 点 D，G を通る直線 `1 の方程式を求めよ．2 点 A，H を通る直線 `2 の方
程式を求めよ．
(3) (2) の 2 直線 `1 ; `2 は交点を持つことを示し，その交点の位置ベクトルを
（鹿児島大学 2007 ）
求めよ．
（鹿児島大学 2007 ）
8
次のように，円 C1 は直交座標に関する方程式で表され，曲線 C2 は極方程
式で表されている．
A チームと B チームは毎日 1 回野球の試合をする．毎回勝敗を決定し，引き
分けはないものとする．どちらかのチームが 3 連勝したときにそのチームの
優勝とする．1 回目の試合では，A チームの勝つ確率は B チームの勝つ確率
C1 : x2 + y2 + 6x ¡ 2y + 7 = 0
C2 : r = p
9
の 2 倍である．また，2 回目の試合からは，A チームの勝つ確率は，前日の
1
2 ¡ sin µ
試合で勝ったときは B チームの勝つ確率の 2 倍であり，負けたときは B チー
1
ムの勝つ確率の
倍である．このとき，次の各問いに答えよ．
3
このとき，次の各問いに答えよ．
(1) 1 回目の試合で A チームが勝つ確率 PA と B チームが勝つ確率 PB を求
(1) 円 C1 を媒介変数を用いて表せ．
(2) 曲線 C2 はどんな曲線になるか．また，その概形もかけ．
(3) 円 C1 の中心を通り曲線 C2 に接する直線の方程式を求めよ．
めよ．
(2) 前日の試合で A チームが勝ったとき，今日の試合で A チームが勝つ確率
PAA と，前日の試合で B チームが勝ったとき，今日の試合で B チームが勝
（鹿児島大学 2007 ）
つ確率 PBB を求めよ．
(3) 4 回以内の試合で優勝が決まる確率を求めよ．
(4) 5 回目の試合で優勝が決まったことがわかっている．このとき A チームが
優勝している確率を求めよ．
（鹿児島大学 2007 ）

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