2015年 04月 19日分

電磁気学基礎論
http://www.scimuseum.kita.osaka.jp/~saito/job/writing/rep/2001/seidenki.htm
から画像をコピーしました。おもしろ実験がたくさん載っています。
ファラデーから、マクスウェルへの手紙
数学者が物理的な作用の研究にたずさわり、ある結論に到達したとき、それは
普通の言葉を使っても、数式に劣らず不足なく、表現できないものでしょうか。
もし、そういう表現つまり私たちも実験を通してその研究に参画できるように、
秘密の記号を翻訳した表現ができれば、私などには大変ありがたいのですが。
マクスウェルの答え＝電気力線と磁力線
この授業の出発点
電荷からは、電気力線が伸ている
単独の電荷の場合放射状に
複数の電場では配置によって曲線を描く
電気力線を用いて、電場を電気力線で表現する準備。
●
電場の方向は、電気力線の伸びる方向。
●
電場の強さと、電気力線の密度が比例する。
●
電気力線は＋の電荷からーの電荷まで、または
無限遠まで伸びる。
定量化のための仮定
●
大きさQの電荷からは
Q
本の電気力線が伸びる。
0

0
真空の誘電率
を用いて、上の電気力線の性質を定式化しよう！
磁性の「おおもと」もやっぱり電荷
電荷が動くと、磁力線と言う輪をつくる。
B
つくる電荷の大きさに比例
r
q
強さは距離の二乗に反比例
v
} 電場と共通
方向を表すため、外積を用いる
=
B
0
4
⋅q
v × r
r
2
電気力線の数　＜＝＝＞　電場の強さ
平面が垂直の時、
最も密度が高く見える
平面が斜めだと
密度が低く見える
引
き
伸
ば
さ
れ
た
「電場の強さ」は切断面を通る本数と角度による補正で決まる
切る角度による補正 <＝面積に cos を掛ける
N
S1
=
N
S 2 cos 
N
=
S2 n ⋅

E
=E
(電場の強さ)
E
内積で cos を作る

N = S n⋅E
電場から、電気力線の数を求める
方法
曲面を通る電気力線の数を数える
分割して、それぞれの微小面積の上で
 ⋅n  S （本）
N = E
i
i
i
i
全体の和を取る
 ⋅n  S
N = N 1 .... N i ....=∑ N i =∑  E
i
i
i
i
i
(形式的な)積分の形に
⋅n
 dS
N =∫S  E
面を分割するから、面積分
必要になる、高校で学んだ数学的基礎。ともかく使ってしまおう。
三角関数
半径rの円を考え、座標軸と関連させると便利
B
a
x=r cosθ
y=r sin θ
y
c
C
(x, y)

r
A
b
c
sin θ=
a
b
cos θ=
a
c sin θ
tan θ= =
b cosθ

x
y
y
x

r
(x, y)
つまり、下のように書ける。
( x , y)=(r cosθ , r sin θ)
x
ベクトル：方向と大きさを持ったもの。
i、角度と長さで表す。
ベクトルが２つある時、両者の成す角は内積と関係する。

b

a⋅
b= a⋅b⋅cos 
( a =∣
a∣ , b=∣
b∣ を、暗黙の了解とする。)

a

特に、a ≠ 0,
b≠0 の時、



=±

と　が垂直であれば、
⋅b= 0
a
a

b
2
が平行であれば、 
a⋅
b= a⋅b =0
ii、座標軸を仮定し、成分で
y
 x , y
r = x のように表すこともある。(位置ベクトル)
, y
a =(a x , a y )
⃗
内積は、
r
x , by
a⋅⃗b=a x⋅b x + a y⋅b y
⃗
と計算できる。
x
、

b=b
とすると、
物理でつかう微分と積分
微分
y= f  x
数学的には極限操作
f  x  x− f  x
f '  x=
 x  0 
x
物理では、
小さい量の比(割り算)。
dy y
≃
dx x
積分
小さく分割した上で、足し合わす。
B
∫A f  xdx ≃∑i f  x i x i
A
B
簡単な例で、分割した和と積分の比較
y
関数　= a⋅
x と、x軸、 x= X
分割で、
I n =∑
n
n
i=1
=
で囲まれた面積を求める。
yi⋅ x =∑ i−1  x2
i=1
y
n n−1
2
1 2 X
x = x−
2
n
2

x= X

y=a⋅x
X
ただし、　とおいた。
 x=
n
積分では、
X
I =∫0
1 2
x dx = x
2
1
i1 i
n
x  = i⋅ x
X
両者の差は、　であり、nを大きくとるといくらでもその差を小さくできる。
n
（これが数学の極限の意味）
2.3 初等関数の、微分、不定積分の例
n
dx
= n x n− 1
dx
d sin ax
dx
= a cos ax
n
∫ x dx =
1
n+ 1
x n +1 + C (n ≠1)
1
∫ sin  ax dx=− a cos ax c
d cos ax
=− a sin ax
dx
1
∫ cos axdx = a sin axc
d eax
= a e ax
dx
1 ax
∫ e dx= a e C
d log e  x
1
∫ x dx= log e∣x∣C
dx
1
=
x
ax
以上が基礎となる微分、積分の公式であり、このぐらい知っていれば十分
http://www.scat120.com/

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