回
α孟 0とするとき， 3次関数 f
(
x
)二が -3ω+α について，次の間に答え
よ. (配点:5
0点)
(
1
) α=1のとき ，f
(
x
)の極値を求め ，y=f
(
x
) のグラフをかけ.
(
2
) 0壬 Z 壬 2において f
(
x
)孟 0 となるような αの値の範囲を求めよ.
注意:以下の余白，および右ページは計算用である.解答は，解答用紙に記入せよ.
2- 1
(
x
)=ポ -3x+1より ，f
'(
x
)= 3(
x
)= 0をみ
【解答 1(1)α=1のとき f
たすのは x=士1のとき.よって x=-1で極大値 f
(
l
)=3，x= 1で極小値
f(
1
)= -1をとりグラフは下図のようになる.
U
Z
(
2
)0孟 Z 孟 2において f
(
x
)孟 0となるためには f
(
O
)孟 Oかっ f
(
2
)孟 Oであ
ることが必要であるので、山かつ 8-6α 十 山 よ っ て O豆 α豆 ;
方
2- α
f
'(
x
)ニ 3
(
x
)= 0をみたすのは
Z 二土
foのとき.①より
①一
O豆fo<2
であるから，求める条件は f
(fo) α(1-2fo)討 よ り 伊 豆 士 す な わ ち
二
。豆 α寸 で あ る
固執
1
的 )+ 2(
x-kt
)
f
(付 = 山 一 28
.(
牢
)
について，次の間に答えよ.(配点:5
0点)
(
1
) k= 1のとき， (牢)を満たす関数 f
(
x
)を求めよ.
(
2
) k=書のとき，
(牢)を満たす関数 f
(
x
)に対して ，y f
(
x
)のグラフは常に
ある定点を通ることを示し，その定点の座標を求めよ.
二
注意:以下の余白，および右ページは計算用である.解答は，解答用紙に記入せよ.
1
慨 )(
1
)f
(
x
)+ 2(
xー
の f(制 = 山 一 28
①
や
=7-1
f
(
t
)
d
t
)
(
1tf(t)dt-吋 と な る
2
を変形して的)
2
叶
ゆえに①
(
x
)は l次関数 f
(
x
)=αz十 bでなければならない.そこで，
を満たす関数 f
f
(
x
)= ω +bを①に代入して，定数 α
仏，
bを
α叶
Z+b十 1
2
(
μ
ト
Z
パ
一
→t
の仰)
を満たすように定めれば良い.この左辺は
α
叶
イ(
t+b
)
d
t
b+l¥x-の
(
αt+b
)
d
t= αx+b+
1
3
¥
α
一
2
1可 い (
1
7
3¥ 1
5
¥
1
7 1¥
=I
~α +blx-I~ α + ~bl
¥2 ' } ¥ 3 '2)¥2..' } ¥ 3 '2)
と計算される.よって ，f
(
x
)=αx+bが①を満たすための必要十分条件は
=αx+b+l~ α +blx-I~ α 十一 bl
(
い
こ
α
5+ =
1
7
~b
28
である.これを解いて α=1
8，b= -28となる.よって ，f
(
x
)= 1
8
x-2
8
.
(
x
)+12(X-苧 )
f
(
t
)
d
t=山 一 2
8
(
2
)(
1
)と同様にして ，f
②を満たす関
(
x
)は l次関数 f
(
x
)= ω +bでなければならない .f
(
x
)= αx+bを ② に
数f
代入したときの左辺は
イ
寸乍〉
2
Z
(
t
ト一 普
の仰)
α叶
Z
川+吋b+1 μ
ト
苧
軒
( 3 ¥ 3 0(7 3 . ¥ ( 5 ¥ ( 7 0 2
8
.
¥
1
;
:
:
α 十.bIx-I ー α +~bl
ーα+bI
=αx+b+1
;
:
:
b
l
x一 一 ￨ 一 α+
=
.
'
¥
2
.
. 'J..
.
}
¥
1
7
.
.
1T}
17¥3 2)¥2..
噌
と計算される.これより ，f
(
x
)= ω +bが①を満たすための必要十分条件
，Eα+
8 である.しかし，この 2本目の方程式は
は
， Eα+b=17
17- ， 謹
1
7b= 2
α
3 +b= 1
7と同一であり，よって f
(
x
)= ω +bが①を満たすための必要
α +b= 1
7である.このとき ，y αZ十 b =αz+17-3α は
，
十分条件は 3
y-17=α(
x-~)と変形されるので， α の値に依らず常に(~， 1
7
)を通る.
回
2
0枚のカードに 1lPG2
0までの自然数が 1つずつ書かれている この中
からカードを 3枚同時に取り出すとき，次の聞に答えよ. (配点 5
0点)
(
1
) 3枚のカードに書かれた 3つの自然数の積が 3の倍数となる確率を求めよ.
(
2
) 3枚のカードに書かれた 3つの自然数の和が 3の倍数となる確率を求めよ.
(
3
) 3枚のカードに書かれた 3つの自然数の最小公倍数が 1
0以下になる確率
を求めよ.ただし， 2つ以上の自然数に共通な正の倍数のうちで最小のもの
を最小公倍数という.
注意:以下の余白，および右ページは計算用である.解答は，解答用紙に記入せよ.
1
C
?
1
9
4
2
8
5
【解答 1 (
1
) 1ー
ニLよ 二 一 一
宅
20C3
(
2
)2
0枚のカードの中で書かれた自然数を 3で
、
害J
Iったときに余りが 0
，1
，2とな
るカードの枚数はそれぞれ 6枚
， 7枚
， 7枚であるから，求める確率は次のよう
になる.
+7C3十
+6Cl X 7 C1 X 7C1
3
8
4 3
2
却 C
1
1
4
0 9
5
3
0になるのは {
1，2
，
5
}，{
1，2
，
1
O
}
， {
1，5
，
1
0
}，{
2，5
，
1O}が引
(
3
) 最小公倍数が 1
6C
3
7C3
1，
3，
9
} が引かれる場合の 1通
かれる 4通り.最小公倍数が 9 になるのは {
1，2
，
8
}，{
1，
4，8
}，{
2，
4，8
}が引かれる 3通り.
り.最小公倍数が 8になるのは {
最小公倍数が 6になるのは {
1，
2
ヲ3
}，{
1，2
，
6
}，{
1，3
，
6
}ぅ {
2，
3
，
6
}が引かれる 4
通り.最小公倍数が 4になるのは {
1，
2，
4
}が引かれる 1通り.最小公倍数が
1
，2，3，5，7になることはない.以上により求める確率は
4+1+3+4+1
1
3
20C3
1140
回
座標平面上の曲線 y= x2(
1-x) を C とし，直線 U二 -x を lとする
数列{向} (
n= 山 ぅ
α1=; とし x η
α
(
n二 l，2，3，---)における C の接線と Jの交点の Z 座標を αη+1 とする.この
とき次の間に答えよ.(配点:5
0点)
(
1
)
η
)を次のように定める
を自然数とするとき
an+1 を h で表せ.
(
2
) ηを自然数とするとき， 0<αn+l<《を示せ.
注意:以下の余白，および右ページは計算用である.解答は，解答用紙に記入せよ.
1
)(
an，
a~ (
1-an)) における接線と lの交点は
[解答 1(
U 一 α~(1 -an)= (
2
α
η -3a~)(x - an)
と y=-xを同時にみたす.これより α叶
1二，
必(
1-2an)
(
2
) はじめに帰納法を用いて任意の自然数 η にたいし 0<向豆 3 ---①を示
す.η=1のとき α
1二号であるので①はみたされている .k= 1
，
2
，"・にたい
し 0<αk豆会
だちに
・・・②を仮定し 0<αk+1壬きが成立することを示す.②よりた
v
司EA
<
'
自
α
nL
1Eよ
く
ハU
4一
部
内
<=
山
η
n
4L
α
a~ (1 -2
α
k
)
k
+
1一 (3ak+1
)
(
1-ak)
がえられる.数学的帰納法より任意の自然数
任意の自然数
<
n
u
で
の
す
た
み
を
②
α
がり
一
kよ
ム
α 35
E
に>=
ら向
々。一
町
α
A'
るL
れ>
ら 1
寸
，
刀
え十
d(1-2州 、
αk+1=
(
3
αk+1
)
(
1一向)〆
4<2
、15 、τ
，
η
にたいし①が示された.次に
にたいし α叶 1<〈を示す.
α 一((そ )
2
(
1-2xそ
)
4
2一 (
3x舎+1
)(
1ーさ)-165
であるので α2< イがみたされている • k=2
，
3，...にたいし αk<α
i
1が成り
立っと仮定し，帰納法を用いて αk+1<a~ が成立することを示す.
2 4 ( 1 -2 α k _ 2 ( (1-2αk)
(
3
αk
+1)
3
αけ 仰 叫 )
(
1一向)-a~ =~ (
となるためにはん
1
¥
1
)a~ <0
+1- ak
"=
(
1-2
向)
4
…
、 -1<0となればよい.すなわち
αk<1かつ αk
(
3
αk-4
)<0でありこれより 0<向くすがしたがう これは①
より 0<向<÷であるため成立している .
αk+1 <α
iが示された.数学的帰納
法より任意の n にたいし αn+1 <必が証明された.これと①より任意の η に
たいし 0<九十1 くくが証明された.
回
αを実数とする 空間内の 4点 A
(叫 2
)， B
(
2，-3，1
)， C
(
l，2，0
)，
D
(
l，-1，-1) に対し，線分 ABの中点を p，線分 ACの中点を Q，線分 CD
の中点を R，線分 BDの中点を Sとする.このとき，次の間に答えよ.
0点)
(配点:5
(
1
) 線分 QRの長さを α を用いて表せ.
(
2
) c
o
sLPQRの値を αを用いて表せ.
(
3
) α が実数全体を動くとき，四角形 PQRSの面積の最小値とそのときの
α の値を求めよ.
注意:以下の余白，および右ページは計算用である.解答は，解答用紙に記入せよ.
[解答 1(
1
)
Q
(半 ， ー が )，R
(
l，-%，ーを) であるので
話
=
(
ミ
ム -1，-おより
￨
到
=
{
(
土
子r
十 山
ニ
シα2-2α+14
がえられる.
一一一令
(
2
) QP=
す(
1，
1，
1
)より
QP-QR
一
一
一
￨
石 研一
C064PQR
11
ムヂす d仁 2α+1
4
j
3
(
α2-2α+日)
加
り
あ
で
↓
四
一
一
in~
↓即
↓
問
(
3
)
α
LPQR=1-cos~ LPQR=1- I
;
=
，= = = = =
V ¥ゾ
3(α2-2α+1
4
))
ニ
2
山 叶 212{(α ーを)231>0
となるから，四角形 PQRSは平行四辺形.よって，四角形 PQRSの面積を
とすると，
S川
面 話
sinLPQR
11
¥
/
3 1
r-;
、
= 二 二 ・ ー ゾα-2α+14
2
2'
=
手
向
2(α2-3α+2
1
)
3(α2-2α+1
4
)
=
子
ル
2-3α+21
よって，
S
(α
)は
民、/自
子
-U+
α=互 の と き ， 最 小 値 すL をとる.
S
(α
)
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