赤阪 正 純 (htt● グ nupri web fc2 com)
関数 の微分可能性
が有限纏
理
夏31「 した
脇中
(3)
/(1+力 )一 ノ
(1)=2と
有限確定する
したが って ,g(″ )は ,=1で 微 分可能 で あ る
11珊
がって,ノ (″ )は ″=1で 微分不可能 である
■
■
″
に
っ
=m%接 線
な
無,c鋼
珍注
「接 線 が ″ =1に 右側 か ら近 づ くと,接 線 の傾
きが
3に 近 づ き,接 線 が ″ =1に 左側 か ら近 づ く
と,接 線 の傾 きが -3に 近 づ く
つ ま り,両 サ イ ド
=1で の接線 の傾 きも
で傾 きが 一 致 しな いので ,″
確定 しない。 だ か ら微 分不可能 だ 」 とい ってい るわ
けです
y=2″ -1は
具体例 で学 ぼ う (Part 2)
最後 に有名な例 を 2つ 紹介 します
≧一よ
≦一
を
ても原点付近での様子はサ ッパ リ分 か りません
1)
続 か どうかも分か りませ ん
する ことは不可能 です
しか し,定 義 に従 って丁寧 に計算すれば,連 続性や
微分可能性 の判定が可能 です
こんなときこそ
計算で確認 しましょう
例題 ノ(″ )=
の 原 点 での 連続性
l
クミ糞
÷
=`と
す る と, そ
´
i`
ミ
^ぜ
=凛
1■ 寸
よそや
Ы
n÷ =μ 平 =0
丸 ズの=丸 ″
乳
≦1で ,ハ サミウチの原理より)
sin′
０
〓
２
=lim
た一 +0
ｍ
［
ｉ
︲
=2
力
Ｌ
幼一
方
カー +0
一
ｍ
［
ｉ
︲
( -1≦ sin′ ≦1で ,ハ サミウチの原理より)
=lim
=lim
五
″
〓
″
dn÷
J塾0バ )=Ji乳
耐
一
′
( -1≦
カー ■0
や ってみ ましょう
り
りょ
ヽ
ヽ
０
判 〓麟
ｅｃ
なめ らかなよ
ヽり=2X―
連
怪
″い
﹁
¨
０
うな,な め らかでないような
,
グラフの見た目で判断
´
︱ １ １ １ に と
がっていますが,実 にビミョ∼です
ノ(1+/2)一 /(1)
先 ほどの 2つ
1)
今度 は 2つ の グ ラフが ″ =1で つ な
λ
2の グ ラ フの
今回 はグラフを書 くことさえで きない し,書 いた し
の
/(1+力 )一 /(1)
υ =″
はグラフを見れば何 とな く様子が分か りま したが
０ ０経
考え方
性
一
=1で
１
g(″ )=
例 題
の ″
咄
ノ ルヽ
︱
〓蝙
サットク∼ ピ￨
4
直線
鴫/(″ )=0
/(0)=0よ り1端 /(″ )=/(0)が 成立するの
で,/(″ )は ″=0で 連続 である
ｎ
カ
１ 一
Ｓ
〓
よ って ,右 極 限 値 と左 極 限 値 が 一 致 す る の で
カ
〓
/(0+ん )一 /(0)
=lim sin′ =振 動
― +∞
′
︵
型
カ
″ =0で の微分可能性
ｍ
［
ｉ
︲
=lim(力 +2)
で,捜
ｍ
［
ｉ
ｍ
［︲
ｉ
︲
=ハ 弊
=ハ 禦
した が って ,右 極 限値 と左 極 限値 が 一 致 す るの
ふ_
関数の微分可能性 (4)
赤 阪 正 純 (htt“ グ nupri.Web fc2 com)
カ
１ 一
″ =0で の微 分可能性
=lim
sin`=振 動
― ―∞
′
‘
θ(0+ん )一 θ(0)
)
したがって,擁 二 堕 等 ゴ Qは 有限確定
野
しないので,/(″ )は ″=0で 微分不可能である
= liinん sin
カー +0
-1≦ sin`≦
ちなみにグラフは下のようにな ります
蒻
υ
ュ 午ゃ
( -1≦
υ
ち II:ミ
P」
1蜘
なんじゃ
ヽりゃ
(偶 関ユ
ハ サ ミウチの 原理 よ り)
sin`≦ 1で ,ハ サミウチの原理より)
で,脇 中
は0に 有限確定する
よって,σ (″ )は ″ =0で 微分可能 で ある
…
ちなみにグラフは下のようにな ります
原点付近 での接線 の傾 き
も +1な のか,-1な のか判断 しかね ますね
」
乳平 =0
した が って ,右 極 限値 と左 極 限値 が 一 致 す るの
確 かに,原 点付近 が ゴチヤゴチャしてて見た目で
判断す るのは絶望的です
1
=′
=鳳 宰
=ハ 宰
ハ中
=鳳 力gn券 =μ 乳平 =0
y=/(″ )の グラフ
イ
1せ が
し
鷹〔
■Ъ
ん で
カ ー一
とお い た
ｍ
［
ｉ
︲
ｓｍ 〓
ｍ
［弓
ｉ
︲
〓
ハ 型場 塾堕=ハ 等
υ
υ=g(″ )の グラフ
だか
一
ら微分不可能な ので しょうね
例
題
θ
(″
)={『
Sin÷
￨:二
￨:
の原点での連続性 と微分可能性 を調 べ よ
■一
・ ttっ をヒ
τ
とす ると
確 かに,原 点付近が ゴチャ ゴチャしてて見た 日で
,
の=鳳 ハn:=′ J乳 ツ =0
鳳ズ
( -1≦
sin
ι≦1で ,ハ サミウチの原理より)
の=鳳 ノdn:=μ 乳ツ =0
鳳ズ
( -1≦
リク絆に
鼻[釘 称
(千 周教 )
Sin`≦ 1で ,ハ サミウチの原理より)
したがって,右 極限値 と左極限値が一致するの
で,Pttθ )=0
g(0)=0よ リ σ )=θ (0)が 成
立するの
タ
鴫
(″
(″
で,θ (″ )は ″ =0で 連続 である
半」
断す るのは絶望的ですが,よ ∼ く見 ると原点付近
での接線 の傾 きが 0に なってそ うです
だか ら微分
可能なのでしようね 先ほどの/(″ )の グラフと見
比べてみ よう
/(″ )も g(″ )も どち らも原点付近 が ゴチヤゴ
チャしているのに,一 方だけが微分可能 になる
のは何 とも不思議です いずれにしても,定 義
を正確 に頭に入れて,落 ち着 いて計算す ること
ですね 「ハサ ミウチの原理」がポイ ン トのよ
うです
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