2年選アス数学Ⅱ3学期考査前演習①

2年　選アス　数学Ⅱ　3学期考査前演習①
(　)組(　)番　名前(　)　１
次の関数を微分せよ。
(1)　y =-2　(2)　y =-3x 2 +6x -5　(3)　y = x 3 -5x 2 -6　(4)　y =-2x 3 +6x 2 +4x
1
3
2
(5)　y =2x 4 -4x 2 +3 (6)　y =- x 5 + x 3 - x
2
4
5
(7)　y = 0 x -11 0 3 -2x1 (8)　y = 0 x +21 0 x -11 0 x -51
(9)　y = 0 2x - 31 3
２
次の関数を求めよ。
(1)　等式 f 0 x1 + 0 x +21 f - 0 x1 =9x 2 +8x -3 を満たす 2 次関数 f 0 x1
(2)　等式 g 0 x1 + xg - 0 x1 =4x 3 +6x 2 +4x +1 を満たす 3 次関数 g 0 x 1
３
次の曲線上の与えられた点における，曲線の接線の方程式を求めよ。
(1)　y = x 2 -3x +2，0 1，01 (2)　y =-2x 2 +4x -1，0 0， -11
(3)　y = x 3 +4，0 -2， -41
４
(4)　y =5x - x 3，0 2，21
次の曲線に，与えられた点から引いた接線の方程式と，接点の座標を求めよ。
(1)　y = x 2 +3x +4　0 0，01 (2)　y = x 2 - x +3　0 1， -11
(3)　y = x 3 +2　0 0，41
-1-
１
s　(1)　0　(2)　-6x +6 (3)　3x 2 -10x　(4)　-6x 2 +12x +4
5
9
2
(5)　8x 3 -8x　(6)　- x 4 + x 2 - (7)　-4x +5 (8)　3x 2 -8x -7
2
4
5
(9)　24x 2 -72x +54
２
３
４
s　(1)　f 0 x 1 =3x 2 -2x +1 (2)　g 0 x 1 = x 3 +2x 2 +2x +1
s　(1)　y =-x +1 (2)　y =4x -1 (3)　y =12x +20 (4)　y =-7x +16
s　(1)　y =7x，0 2，14 1；y =-x，0 -2，2 1
(2)　y =-3x +2 ，0 -1，5 1 ；y =5x -6 ，0 3，9 1　(3)　y =3x +4 ，0 -1，1 1
-2-
１
(1)　y - =0
(2)　y - =-3･2x +6=-6x +6
(3)　y - =3x 2 -5 ･ 2x =3x 2 -10x
(4)　y - =-2 ･ 3x 2 +6 ･ 2x +4 =-6x 2 +12x +4
(5)　y - =2 ･ 4x 3 -4 ･ 2x =8x 3 -8x
(6)　y - =-
1
3
2
5
9
2
･ 5x 4 + ･ 3x 2 - =- x 4 + x 2 2
4
5
2
4
5
(7)　y =-2x 2 +5x -3 であるから
y - =-2 ･ 2x +5=-4x +5
(8)　y = x 3 -4x 2 -7x +10 であるから
y - =3x 2 -4 ･ 2x -7=3x 2 -8x -7
(9)　y =8x 3 -36x 2 +54x -27 であるから　y - =8 ･ 3x 2 -36 ･ 2x +54 =24x 2 -72x +54
２
(1)　f 0 x 1 = ax 2 + bx + c 0 a ' 0 1 とおくと　f - 0 x 1 =2ax + b
これらを与えられた等式に代入して
ax 2 + bx + c + 0 x +2 10 2ax + b 1 =9x 2 +8x -3
左辺を整理すると
3ax 2 + 0 4a +2b 1x + 0 2b + c 1 =9x 2 +8x -3
これが x についての恒等式であるから，両辺の係数を比較すると
3a =9 ，4a +2b =8 ，2b + c =-3
よって　a =3 ，b =-2 ，c =1 0 これは a ' 0 を満たす 1
ゆえに　f 0 x 1 =3x 2 -2x +1
(2)　g 0 x 1 = ax 3 + bx 2 + cx + d 0 a ' 0 1 とおくと　g - 0 x 1 =3ax 2 +2bx + c
これらを与えられた等式に代入して
ax 3 + bx 2 + cx + d + x0 3ax 2 +2bx + c1 =4x 3 +6x 2 +4x +1
左辺を整理すると
4ax 3 +3bx 2 +2cx + d =4x 3 +6x 2 +4x +1
これが x についての恒等式であるから，両辺の係数を比較すると
4a =4 ，3b =6 ，2c =4 ，d =1
よって　a =1 ，b =2 ，c =2 ，d =1 0 これは a ' 0 を満たす 1
ゆえに　g 0 x 1 = x 3 +2x 2 +2x +1
-3-
３
与えられた曲線について，y = f 0 x 1 とおく。
(1)　f - 0 x 1 =2x -3
よって，点 0 1，0 1 における接線の傾きは　f - 0 1 1 =2･1-3=-1
ゆえに，求める接線の方程式は
y -0=-1･0 x -1 1 すなわち　y =-x +1
(2)　f - 0 x 1 =-4x +4
よって，点 0 0， -1 1 における接線の傾きは　f - 0 0 1 =-4･0+4=4
ゆえに，求める接線の方程式は
y +1=40 x -0 1 すなわち　y =4x -1
(3)　f - 0 x 1 =3x 2
よって，点 0 -2， -4 1 における接線の傾きは　f - 0 -2 1 =3･0 -2 1 2 =12
ゆえに，求める接線の方程式は
y +4=120 x +2 1 すなわち　y =12x +20
(4)　f - 0 x 1 =5-3x 2
よって，点 0 2，2 1 における接線の傾きは　f - 0 2 1 =5-3･2 2 =-7
ゆえに，求める接線の方程式は
y -2=-70 x - 2 1 すなわち　y =-7x +16
-4-
４
(1)　y - =2x +3
接点の座標を 0 a，a 2 +3a +41 とすると，接線の方程式は
y - 0 a 2 +3a +41 = 0 2a +3 10 x - a 1
すなわち　y = 0 2a +3 1x - a 2 +4 …… ①
これが点 0 0，0 1 を通るから　0= 0 2a +3 1･0- a 2 +4
これを解いて　a = $2
a =2 のとき，接点の座標は　0 2，14 1　① から，接線の方程式は　y =7x
a =-2 のとき，接点の座標は　0 -2，2 1 ① から，接線の方程式は　y =-x
(2)　y - =2x -1
接点の座標を 0 a，a 2 - a +31 とすると，接線の方程式は
y - 0 a 2 - a +31 = 0 2a -1 10 x - a 1
すなわち　y = 0 2a -1 1x - a 2 +3 …… ①
これが点 0 1， -1 1 を通るから
-1= 0 2a -1 1･1- a 2 +3
よって　a 2 -2a -3=0 これを解いて　a =-1 ，3
a =-1 のとき，接点の座標は　0 -1，5 1 ① から，接線の方程式は　y =-3x +2
a =3 のとき，接点の座標は　0 3，9 1　① から，接線の方程式は　y =5x -6
(3)　y - =3x 2
接点の座標を 0 a，a 3 +21 とすると，接線の方程式は
y - 0 a 3 +21 =3a 20 x - a 1
すなわち　y =3a 2x -2a 3 +2 …… ①
これが点 0 0，4 1 を通るから　4=3a 2･0-2a 3 +2
よって　a 3+1=0 すなわち　0 a +1 10 a 2 - a +11 =0
a 2 - a +1= a - 1
2
8
9
2
+
3
>0 であるから　a +1=0 よって　a =-1
4
ゆえに，接点の座標は　0 -1，1 1
① から，接線の方程式は　y =3x +4
-5-

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