フィードバック制御 Homework #11

フィードバック制御 Homework #11
締切: ２０１５年１月１４日（水）２０：００
bababababababababababababababababababababab
制御対象
P (s) = e−0.6s
1.3
−0.3s + 1 1.3
=
0.8s + 1
0.3s + 1 0.8s + 1
(1)
に対し, PID 補償で制御することを考える. ここで, 望ましい性能仕様は以下のように与える.
・位相余裕 PM> 50deg
・ゲイン余裕 GM> 8dB
・ゲイン交差周波数 1.3 < ωgc < 1.7rad/s
・定常位置偏差 es = 0
このとき, 以下の問いに答えよ.
HW 11-1 限界感度法 (教科書 p. 154 参照) を用いて，制御対象 P (s) に対する P 補償，PI 補
償，PID 補償をそれぞれ設計せよ. ただし，限界ゲインは有効数字二桁かつ発散しないように
設定せよ．その他のパラメータは有効数字二桁で示せ．
HW 11-2 設計した 3 つの制御器に対し, i) 開ループ伝達関数, ii) 感度関数，iii) 相補感度関
数のボード線図，また，ステップ応答をそれぞれ重ねて示せ．
HW 11-3 HW 11-1 で求めた PID 補償器を用いた時のゲイン余裕，位相余裕，ゲイン交差
周波数を求めよ．
HW 11-BONUS 上記設計仕様をすべて満たす PID 補償器を設計し，開ループ伝達関数の
ボード線図を示せ．
1
フィードバック制御 Homework #11 解答
HW 11-1
Ku = 2.8，P u = 1.5 であることから，
P 制御器 KP = 1.4
PI 制御器 KP = 1.3，TI = 1.3
PID 制御器 KP = 1.7，TI = 0.75，TD = 0.19
赤は P，緑は PI，青は PID．
HW 11-2
ステップ応答は Fig. 1，開ループ伝達関数は Fig. 2，感度関数は Fig. 3，相補感度関数は Fig. 4 の通
り．赤は P，緑は PI，青は PID．
HW 11-3
GM = 5.8dB，P M = 40°，ωgc = 2.4rad/s
HW 11-BONUS
0.21s2 + 1.14s + 1.2
K(s) =
s
開ループ伝達関数のボード線図は Fig. 5 の通り．
1.5
60
40
1
20
0
0.5
-20
0
-40
360
315
-0.5
270
225
-1
180
135
-1.5
0
1
2
3
4
5
6
7
90
10-2
8
Fig. 1: ステップ応答
10-1
100
101
102
Fig. 2: 開ループ伝達関数
5
10
0
0
-10
-5
-10
-20
-15
-30
-20
-40
-25
-50
-30
-60
135
-35
360
315
90
270
45
225
180
0
135
-45
-2
10
-1
10
0
10
1
10
90
-2
10
2
10
Fig. 3: 感度関数
-1
10
0
10
Fig. 4: 相補感度関数
2
1
10
2
10
25
20
15
10
5
0
-5
-10
270
225
180
10-1
100
101
102
Fig. 5: 開ループ伝達関数
フィードバック制御 Homework #11 解説
MATLAB Program
clear all
close all
clc
P=tf([-0.3 1],[0.3 1])*tf(1.3,[0.8 1]);
s=tf(’s’);
Ku=2.8;
Pu=1.5;
KP1=0.5*Ku;
K1=KP1;
L1=P*K1;
S1=feedback(1,P*K1);
T1=feedback(P*K1,1);
[Gm1,Pm1,Wgm1,Wpm1]=margin(L1);
KP2=0.45*Ku;
TI2=Pu/1.2;
K2=KP2*(1+1/TI2/s);
L2=P*K2;
S2=feedback(1,P*K2);
T2=feedback(P*K2,1);
[Gm2,Pm2,Wgm2,Wpm2]=margin(L2);
KP3=0.6*Ku;
TI3=0.5*Pu;
TD3=Pu/8;
3
K3=KP3*(1+1/TI3/s+TD3*s);
L3=P*K3;
S3=feedback(1,P*K3);
T3=feedback(P*K3,1);
[Gm3,Pm3,Wgm3,Wpm3]=margin(L3);
figure(1)
step(T1,’r’,T2,’g’,T3,’b’)
figure(2)
bode(L1,’r’,L2,’g’,L3,’b’)
figure(3)
bode(S1,’r’,S2,’g’,S3,’b’)
figure(4)
bode(T1,’r’,T2,’g’,T3,’b’)
4

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