フィードバック制御 Homework #11 締切: 2015年1月14日(水)20:00 bababababababababababababababababababababab 制御対象 P (s) = e−0.6s 1.3 −0.3s + 1 1.3 = 0.8s + 1 0.3s + 1 0.8s + 1 (1) に対し, PID 補償で制御することを考える. ここで, 望ましい性能仕様は以下のように与える. ・位相余裕 PM> 50deg ・ゲイン余裕 GM> 8dB ・ゲイン交差周波数 1.3 < ωgc < 1.7rad/s ・定常位置偏差 es = 0 このとき, 以下の問いに答えよ. HW 11-1 限界感度法 (教科書 p. 154 参照) を用いて,制御対象 P (s) に対する P 補償,PI 補 償,PID 補償をそれぞれ設計せよ. ただし,限界ゲインは有効数字二桁かつ発散しないように 設定せよ.その他のパラメータは有効数字二桁で示せ. HW 11-2 設計した 3 つの制御器に対し, i) 開ループ伝達関数, ii) 感度関数,iii) 相補感度関 数のボード線図,また,ステップ応答をそれぞれ重ねて示せ. HW 11-3 HW 11-1 で求めた PID 補償器を用いた時のゲイン余裕,位相余裕,ゲイン交差 周波数を求めよ. HW 11-BONUS 上記設計仕様をすべて満たす PID 補償器を設計し,開ループ伝達関数の ボード線図を示せ. 1 フィードバック制御 Homework #11 解答 HW 11-1 Ku = 2.8,P u = 1.5 であることから, P 制御器 KP = 1.4 PI 制御器 KP = 1.3,TI = 1.3 PID 制御器 KP = 1.7,TI = 0.75,TD = 0.19 赤は P,緑は PI,青は PID. HW 11-2 ステップ応答は Fig. 1,開ループ伝達関数は Fig. 2,感度関数は Fig. 3,相補感度関数は Fig. 4 の通 り.赤は P,緑は PI,青は PID. HW 11-3 GM = 5.8dB,P M = 40°,ωgc = 2.4rad/s HW 11-BONUS 0.21s2 + 1.14s + 1.2 K(s) = s 開ループ伝達関数のボード線図は Fig. 5 の通り. 1.5 60 40 1 20 0 0.5 -20 0 -40 360 315 -0.5 270 225 -1 180 135 -1.5 0 1 2 3 4 5 6 7 90 10-2 8 Fig. 1: ステップ応答 10-1 100 101 102 Fig. 2: 開ループ伝達関数 5 10 0 0 -10 -5 -10 -20 -15 -30 -20 -40 -25 -50 -30 -60 135 -35 360 315 90 270 45 225 180 0 135 -45 -2 10 -1 10 0 10 1 10 90 -2 10 2 10 Fig. 3: 感度関数 -1 10 0 10 Fig. 4: 相補感度関数 2 1 10 2 10 25 20 15 10 5 0 -5 -10 270 225 180 10-1 100 101 102 Fig. 5: 開ループ伝達関数 フィードバック制御 Homework #11 解説 MATLAB Program clear all close all clc P=tf([-0.3 1],[0.3 1])*tf(1.3,[0.8 1]); s=tf(’s’); Ku=2.8; Pu=1.5; KP1=0.5*Ku; K1=KP1; L1=P*K1; S1=feedback(1,P*K1); T1=feedback(P*K1,1); [Gm1,Pm1,Wgm1,Wpm1]=margin(L1); KP2=0.45*Ku; TI2=Pu/1.2; K2=KP2*(1+1/TI2/s); L2=P*K2; S2=feedback(1,P*K2); T2=feedback(P*K2,1); [Gm2,Pm2,Wgm2,Wpm2]=margin(L2); KP3=0.6*Ku; TI3=0.5*Pu; TD3=Pu/8; 3 K3=KP3*(1+1/TI3/s+TD3*s); L3=P*K3; S3=feedback(1,P*K3); T3=feedback(P*K3,1); [Gm3,Pm3,Wgm3,Wpm3]=margin(L3); figure(1) step(T1,’r’,T2,’g’,T3,’b’) figure(2) bode(L1,’r’,L2,’g’,L3,’b’) figure(3) bode(S1,’r’,S2,’g’,S3,’b’) figure(4) bode(T1,’r’,T2,’g’,T3,’b’) 4
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