第13回レポート問題の解説

数学総合レポート問題 (第 13 回)
問 1
略解と解説
複素数 a = α + iβ と実変数 x に対して指数関数 ea x を
{
}
ea x = e(α+iβ) x = eα x eiβ x = eα x cos(β x) + i sin(β x)
で定義する．このとき，実数の場合と同じ形の式
d ax
e = a ea x が成り立つことを示せ．
dx
(解) 定義より
{
}
ea x = e(α+iβ) x = eα x eiβ x = eα x cos(β x) + i sin(β x)
である．ea x を x で微分する．
}]
d [ αx {
d ax
e =
e
cos(β x) + i sin(β x)
dx
dx {
}
{
}
= α eα x cos(β x) + i sin(β x) + eα x −β sin(β x) + iβ cos(β x)
{
{
}
}
= α eα x cos(β x) + i sin(β x) + eα x (i)2 β sin(β x) + iβ cos(β x)
{
}
{
}
= α eα x cos(β x) + i sin(β x) + i β eα x i sin(β x) + cos(β x)
{
}
{
}
= α eα x cos(β x) + i sin(β x) + i β eα x cos(β x) + i sin(β x)
{
}
= (α + iβ) eα x cos(β x) + i sin(β x)
= (α + iβ) eα x eiβ x
= a ea x
1
(1)
問 2
周期 2 π の実数値関数 f (x) のフーリエ級数が
f (x) =
∞
∑
{
}
1
a0 +
an cos(nx) + bn sin(nx)
2
n=1
であるとする．この f (x) の複素フーリエ級数を
f (x) =
∞
∑
cn ei n x
n=−∞
とおくとき，係数 cn を a0 , an , bn , ( n ≥ 1 ) を用いて表せ．
(ヒント： cos(nx) =
となることに注意)．
1 ( inx −inx )
1 ( inx −inx )
e +e
, sin(nx) =
e −e
を使う．このとき cn = c−n
2
2i
(解) ヒントの式を使えば，
f (x) =
=
=
∞
∑
{
}
1
a0 +
an cos(nx) + bn sin(nx)
2
n=1
∞ {
∑
)
)}
1 ( inx
1
1 ( inx
e
+ e−inx + bn ·
e
− e−inx
a0 +
an ·
2
2
2i
n=1
∞ {
}
∑
)
)
1
1(
1(
a0 +
an − ibn einx +
an + ibn e−inx
2
2
2
n=1
これから
c0 =
1
a0 ,
2
cn =
)
1(
an − ibn ,
2
c−n =
)
1(
an + ibn ,
2
である．an , bn は実数であるから cn = c−n であることに注意.
2
(n ≥ 1)

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