数学総合レポート問題 (第 13 回) 問 1 略解と解説 複素数 a = α + iβ と実変数 x に対して指数関数 ea x を { } ea x = e(α+iβ) x = eα x eiβ x = eα x cos(β x) + i sin(β x) で定義する.このとき,実数の場合と同じ形の式 d ax e = a ea x が成り立つことを示せ. dx (解) 定義より { } ea x = e(α+iβ) x = eα x eiβ x = eα x cos(β x) + i sin(β x) である.ea x を x で微分する. }] d [ αx { d ax e = e cos(β x) + i sin(β x) dx dx { } { } = α eα x cos(β x) + i sin(β x) + eα x −β sin(β x) + iβ cos(β x) { { } } = α eα x cos(β x) + i sin(β x) + eα x (i)2 β sin(β x) + iβ cos(β x) { } { } = α eα x cos(β x) + i sin(β x) + i β eα x i sin(β x) + cos(β x) { } { } = α eα x cos(β x) + i sin(β x) + i β eα x cos(β x) + i sin(β x) { } = (α + iβ) eα x cos(β x) + i sin(β x) = (α + iβ) eα x eiβ x = a ea x 1 (1) 問 2 周期 2 π の実数値関数 f (x) のフーリエ級数が f (x) = ∞ ∑ { } 1 a0 + an cos(nx) + bn sin(nx) 2 n=1 であるとする.この f (x) の複素フーリエ級数を f (x) = ∞ ∑ cn ei n x n=−∞ とおくとき,係数 cn を a0 , an , bn , ( n ≥ 1 ) を用いて表せ. (ヒント: cos(nx) = となることに注意). 1 ( inx −inx ) 1 ( inx −inx ) e +e , sin(nx) = e −e を使う.このとき cn = c−n 2 2i (解) ヒントの式を使えば, f (x) = = = ∞ ∑ { } 1 a0 + an cos(nx) + bn sin(nx) 2 n=1 ∞ { ∑ ) )} 1 ( inx 1 1 ( inx e + e−inx + bn · e − e−inx a0 + an · 2 2 2i n=1 ∞ { } ∑ ) ) 1 1( 1( a0 + an − ibn einx + an + ibn e−inx 2 2 2 n=1 これから c0 = 1 a0 , 2 cn = ) 1( an − ibn , 2 c−n = ) 1( an + ibn , 2 である.an , bn は実数であるから cn = c−n であることに注意. 2 (n ≥ 1)
© Copyright 2025 ExpyDoc