略解と解説

略解と解説
数学総合レポート問題 (第 14 回)
a は正の実数とする． f (x) = e−a|x| のフーリエ・コサイン積分 A(w) とフーリエ・サイン
積分 B(w) を求めよ．
問 1
(解) f (x) = e−a|x| は偶関数であるから，B(w) = 0 である． A(w) は定義より，
∫ ∞
∫ ∞
e−a|x| cos wx dx
f (x) cos wx dx =
π A(w) =
−∞
−∞
∫ ∞
=2
e−ax cos wx dx
0
)]
[ −ax (
e
−a cos wx + w sin wx x=∞
=2
a2 + w2
x=0
2a
= 2
a + w2
よって，
A(w) =
2a
1
·
π w 2 + a2
(参考 1) e−a|x| は，絶対積分可能で，点 x = 0 を除けば微分可能で， x = 0 で連続であるから
等号
e−a|x| =
∫
∫
∞
0
が成り立つ．
∫
(参考 2) 不定積分
∫
一方，
∞
A(w) cos(wx) dw = 2πa
0
cos(wx)
dw
w 2 + a2
e−ax cos(wx) dx は複素数を利用すれば次のように簡単に求められる．
∫
e(−a+iw)x
(−a − iw) e(−a+iw)x
e(−a+iw)x dx =
=
−a + iw
a2 + w 2
(
)
(−a − iw) e−ax cos wx + i sin wx
=
a2 + w 2
(
)
(
)
e−ax −a cos wx + w sin wx
e−ax −a sin wx − w cos wx
=
+i
a2 + w 2
a2 + w 2
e−ax eiwx dx =
∫
e−ax eiwx dx =
∫
e−ax cos(wx) dx + i
∫
e−ax sin(wx) dx
であるから両式の実部と虚部を比較すれば
(
)
e−ax −a cos wx + w sin wx
e
cos(wx) dx =
a2 + w2
(
)
∫
e−ax −a sin wx − w cos wx
−ax
e
sin(wx) dx =
a2 + w2
∫
−ax
1
問 2
正数 a に対して関数 ϕa (x) を

−2a2 x + 2a
ϕa (x) =

0
1
)
a
( それ以外の x )
(0≤x≤
で定義する．このとき [0, ∞) で定義された任意の連続関数 f (x) に対して
∫
∞
lim
f (x)ϕa (x) dx = f (0)
a→∞
0
となることを示せ．
(解) a をパラメータとする関数
ϕa (x) は a → ∞ においてデルタ関数の性質を持つ．
∫
∞
実際に，常に
ϕa (x) dx = 1 であり，右図からわかるように
2a
0
ϕ∞ (x) =

∞
(x = 0)
0
(x ̸= 0)
である．
∫
∫
∞
∞{
}
f (x) − f (0) ϕa (x) dx +
f (x) ϕa (x) dx =
∫
∞
f (0) ϕa (x) dx
0
0
∫ ∞
∫ ∞
{
}
=
f (x) − f (0) ϕa (x) dx + f (0)
ϕa (x) dx
0
0
∫ ∞
{
}
=
f (x) − f (0) ϕa (x) dx + f (0)
0
∫
これから a → ∞ のとき
0
0
∞{
}
f (x) − f (0) ϕa (x) dx → 0 となることを示せばよい．
0
∫
0
∫
}
f (x) − f (0) ϕa (x) dx ≤
∞
f (x) − f (0) ϕa (x) dx
∞{
0
∫
1
a
=
f (x) − f (0) ϕa (x) dx
0
0≤x≤
1
での f (x) − f (0) の最大値を ma とおけば，
a
∫
0
∫
}
f (x) − f (0) ϕa (x) dx ≤ ma
∞{
1
a
ϕa (x) dx = ma
0
となる．f (x) は連続関数であるから a → ∞ のとき ma → 0 となるので，証明された．
2
1
a
x

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