2014年度試験問題と解答

科目名振動・波動論 (火３) 教員名斎藤晴雄 2015 年 2 月 5 日第 4 時限実施試験時間 90 分
指定クラス S1-10・16, S23-6・8-9 問題用紙１枚計算用紙１枚解答用紙１枚持込全て不可
ヒントとして、基本的な式を下に記します。記号の意味についてはヒントに含まないものとして、ここでは与え
ません。
∂ξ
∂ξ
∂u
∂P
z′ − z
P (x) = −K , u =
, ρ
=−
, R=
, v=
∂x
∂t
∂t
∂x
z + z′
√
(
)√
K
Na
l−1
K
, v=±
sin π
ρ
π(l − 1)
N
m
[第１問] (第１問は答えのみ解答して下さい。解答用紙の表面に回答して下さい。)
(1.1) 微分方程式
d3 f
+ 8f = 0
dt3
の解 f (t) を、３つの任意定数 C1 , C2 , C3 を含んだ形で求めよ。
(1.2)f (t) に関する５階の常微分方程式
(1)
(2)
d5 f
d4 f
d3 f
d2 f
df
+ 2 4 + 3 3 + 4 2 + 5 + 6f = 0
(3)
5
dt
dt
dt
dt
dt
を行列とベクトルを用いて１階の微分方程式の形で書き表せ。解く必要はない。なお微分を表す記号として「 ’」
（ダッシュ）を用いてもよい。
(1.3) L、C 、R を直列にした回路に V0 sin ωt の電圧をかける。共振周波数、電流の最大値、電流が共振の場合の
√
1/ 2 となる周波数、をそれぞれ求めよ。
(1.4) 以下の行列の固有値と固有ベクトルを求めよ。


2 −1 0 −1


 −1 2 −1 0 


A=
(4)

 0 −1 2 −1 
−1 0 −1 2
(1.5) 密度 ρ、圧力 P 、比熱比 γ の空気中の音速を答えよ。
(1.6) 密度 ρ、音速 c のとき ρc を音響インピーダンスと言う。音響インピーダンス z1 の媒質と z2 の媒質があっ
て、界面（平面）を境に接しているとする。音の波が z1 の媒質を進んできて、その界面に垂直に入射した。界面
に入射するエネルギーと反射するエネルギーの比（エネルギー反射率）を答えよ。
[第２問] (途中経過は簡潔に記してください。答えのみでも可。解答用紙の表面に回答して下さい。)
3 つの質量 m の質点を 4 本のバネ定数 K のバネで直線状につないで、両端を壁に固定する。以下では縦波を考
察する。
(1)
初期状態では初速度はゼロで、3 つの質点の変位 x1 , x2 , x3 は、
√
(x1 , x2 , x3 ) = x0 (1, 2, 1)
(5)
であった。時刻 t における質点の変位を求めよ。
(2)
初期状態では初速度はゼロで、3 つの質点の変位 x1 , x2 , x3 は、
√
(x1 , x2 , x3 ) = x0 (2, 2, 0)
(6)
であった。時刻 t における質点の変位を求めよ。ただし
√
√
(2, 2, 0) = (1, 2, 1) + (1, 0, −1)
(7)
である。
1
[第３問] (途中経過は簡潔に記してください。答えのみでも可。解答用紙の裏面に回答して下さい。)
断面積 S 、ヤング率 E 、密度 ρ の長い棒が x 軸に沿って置かれていて、x = 0 が左端になっている。この棒の左
端を、ある人が押したり引いたりしていて、棒には
ξ(x, t) = A sin(k(x − ct))
(8)
で表される縦波が定常的に起こっている。k は波数、t は時刻、c は波の速度である。この人が棒に対してしてい
る単位時間当たりの仕事（仕事率）を求めよ。
[第４問] (途中経過は簡潔に記してください。答えのみでも可。解答用紙の裏面に回答して下さい。)
断面積 S 、ヤング率 E 、密度 ρ の長い棒が x 軸に沿って置かれていて、x = 0 が右端になっている。この右端に
バネ定数 K のバネの左端を接続し、バネの右端は動かない壁に接続する。
x 軸の負の方向から、以下で表される入射波がやってきている。
ξIN = A sin(k(x − ct))
(9)
なお k は波数、t は時刻、c は波の速度である。
(1)
K がゼロの場合に、右端で反射する波の式を求めよ。なお、ここでは定常状態のみを考える。
(2)
K がゼロでない場合の、右端で反射する波の式を求めよ。なお、ここでは定常状態のみを考える。また、バネ
の力は棒の右端（断面積 S ）に均等に作用するとする。
図 1: 問題４
2
第1章
解答
[第１問]
(1.1)
ただし、
f = C1 exp(λ1 t) + C2 exp(λ2 t) + C3 exp(λ3 t)
(1.1)
√
λ1 = −2, λ2 , λ3 = 1 ± i 3
(1.2)
(1.2)
 
f ′′′′
 ′′′  
 f  
 
d 
 f ′′  = 
 

dt 

′ 
f
 

f

−2
1
0
0
0
−3 −4 −5
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1

−6

0 


0 


0 
0

f ′′′′

f ′′′ 

f ′′ 


f′ 
f
(1.3)
(1.3)
I=
V
R + i(ωL − 1/(ωC))
より、共鳴周波数
(1.4)
1
ωr = √
LC
(1.5)
V0
R
(1.6)
電流の最大値
Imax =
または
Imax (t) =
√
1/ 2 のところ
V0
sin ωt
R
(1.7)
R2 + (ωL − 1/(ωC))2 = 2R2
(1.8)
(ωL − 1/(ωC)) = ±R
(1.9)
より、
より
√
ω=
R
4LC + R2 C 2
±
2
4(LC)
2L
(1.10)
(1.4) 授業で何度か扱った、周期的境界条件の二階差分行列。
4 つの固有ベクトルは l = 1, 2, 3, 4 に対して

exp(2πi 04 (l − 1))

 exp(2πi 14 (l − 1))
⃗xl = 
 exp(2πi 2 (l − 1))

4
exp(2πi 34 (l − 1))
ととれる。それぞれ
4 sin2 π
3
l−1
4






(1.11)
(1.12)
が固有値。
具体的には

1
 
 
1
1
 
1

  
 
 

 1   i   −1   −i 
 ,
,
,

 1   −1   1   −1 
  
 
 

1
−i
−1
i
(1.13)
に対してそれぞれ 0, 2, 4, 2 が固有値。（縮退しているところの固有ベクトルは和でも可。）
(1.5)
√
γP
ρ
(1.14)
(1.6)
(
R=
[第２問] 運動方程式は
z2 − z1
z2 + z1
)2
(1.15)


2 −1 0


A =  −1 2 −1 
0 −1 2
として、

x1


x1
(1.16)

K 
d 


 x2  = − A  x2 
dt
m
x3
x3
(1.17)
A の固有値、固有ベクトルが求まればいい。
例えば、固有値は行列式からも求まると思う。
ここでは、固有ベクトルは、壁の間に、半波長や１波長が入る形で、それは問題文中に見えている。従って、こ
れを A にかけるだけでいい。
 

√
2− 2
2 −1 0
1
√
√
 


 −1 2 −1   2  =  2 2 − 2
√
1
2− 2
0 −1 2


 
2 −1 0
1
2


 
 −1 2 −1   0  =  0
0 −1 2
−1
−2


1
√  √ 

 = (2 − 2)  2 
1



1



 = (2)  0 


(1.18)
(1.19)
−1
という具合に。
√
√
従って、(1, 2, 1) と (1, 0, −1) は A の固有ベクトルで、それぞれ λ1 = 2 − 2 と λ2 = 2 の固有値を持つ。
もしくは、授業でやった一般式では、
λl = 4 sin2
なので、N = 3 を入れれば、
πl
2(N + 1)
√
π
=2− 2
8
π
λ2 = 4 sin2 = 2
8
√
2 π
λ3 = 4 sin
=2+ 2
8
λ1 = 4 sin2
(1.20)
(1.21)
(1.22)
(1.23)
と求まる。
従って、この形の振動の重ね合わせが起こることになる。
そうすると、(1) の答えは
√
(x1 , x2 , x3 ) = x0 (1, 2, 1) cos ω1 t
4
(1.24)
で、
(2) の答えは、
√
ω1 = λ1
√
K
=
m
√
√
√
K
2− 2
m
√
(x1 , x2 , x3 ) = x0 (1, 2, 1) cos ω1 t + x0 (1, 0, −1) cos ω2 t
√
√
√
√
K
K
ω2 = λ2
= 2
m
m
(1.25)
[第３問]
x = 0 での速度は
v(t) = −Akc cos(kct)
(1.26)
力は
F = P S = −SE
dξ
= −ASEk cos(k(x − ct))
dx
(1.27)
なので、
F (x = 0) = −ASEk cos(kct)
仕事は F v の積分で、時間と共に増える部分は、
∫
1
2
2
W = A SEk c dtt0 cos2 (kct) = A2 k 2 SEcT
2
となり、平均の仕事率は
1 2 2
A k SEc
2
(1.28)
(1.29)
(1.30)
これが答えでよい。
時間変化する部分は、
A2 SEk 2 c
cos 2kct
2
(1.31)
が仕事率ということになる。
別解としては、P 2 /Z の式を知っていれば、
1 A2 k 2 E 2
1 A2 k 2 E 2
1 A2 k 2 Ec
=
=
2 ρc
2 cE/c2
2
1
となり、これに断面積 S をかけても求まる。
[第４問]
(1)
これは自由端反射になる。授業でやった一般式は、
g(x + ct) = f (−x − ct)
(1.32)
ξout = A sin(k(−x − ct)) = −A sin(k(x + ct))
(1.33)
ξout = A sin(k(x + ct + ϕ))
(1.34)
なので、
(2)
反射波は
の形にしていい。振幅が変わらないのはエネルギーが保存するからである。以降振幅 A は省略する。x = 0 では、
ξ = ξIN + ξout = − sin(kct) + sin(kct + ϕ)
(1.35)
一方、棒の内部の圧力は、
P = −E
dξ
dx
(1.36)
なので、力は、
F = −SE
dξ
= −SEk(cos(k(x − ct)) + cos(k(x + ct) + ϕ)
dx
5
(1.37)
x = 0 では、
F (x = 0) = −SEk(cos(kct) + cos(kct + ϕ)
(1.38)
これがバネの力に等しい。これの符号が問題であるが、ξ(x = 0) が一番左によったとき、P 最大なので、
F (x = 0) = −SEk(cos(kct) + cos(kct + ϕ) = −Kξ(x = 0)
(1.39)
SEk(cos(kct) + cos(kct + ϕ) = K(− sin(kct) + sin(kct + ϕ))
(1.40)
従って、
両辺をそれぞれ
A+B
A−B
cos
2
2
A+B
A−B
sin A + sin B = 2 sin
cos
2
2
cos A + cos B = 2 cos
(1.41)
(1.42)
で変形。
2SEk cos
2kct + ϕ
ϕ
ϕ
2kct + ϕ
cos = K(sin(kct + ϕ) + sin(−kct)) = 2K sin cos
2
2
2
2
(1.43)
ϕ
ϕ
= K sin
2
2
(1.44)
ここから
SEk cos
であれば任意の時刻で成り立つ。
ESk
(1.45)
K
K が無限に大きければ ϕ = 0 で固定端反射。K = 0 なら自由端反射で ϕ = π となり、(1) の結果と一致する。
tan ϕ/2 =
6

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