2.n次元の集合と位相

n次元位相空間の集合と位相
• 基礎的な話を纏める
– 基礎は易しいという意味では無い
– 高校数学と一番違っている
– 理系の人と同じスタートライン
– ルディン「現代解析学」では最初の１００ページ
集合と論理
• 集合
– 数学的に分析対象になるように定義されたものの
集まり
– 実数、[0,1]で定義された連続実関数
– みかんやりんごではない
– 基礎論では、ややこしい定義がある。
– 普通は何らかの構造を与えられた集合である空
間とその要素や部分集合から話が始まる
集合、要素、部分集合
W：全体の集合
W：その要素
A ：部分集合
各Wは、 A(Aに属する)かA(Aに属さな
い)かどちらか
AC ： Aの補集合・・Aに属しない要素をすべて含む
集合
WC)：空集合・・・一つも要素がない集合
集合の包含
AB :AがBに含まれる
Aの要素はすべてBの要素
A=B (ABかつBA)
AB BCAC
AWがすべてのAについて成立する
必要条件と十分条件
• 基礎論に遡らなければ以下は同じ
– 「ある条件が成立すれば別の条件が成立する」
– 「別の条件が成立するのは、ある条件が成立する
ときだけである」
– {ある条件が成立する集合}{別の条件が成立す
る集合}
– ある条件は、別の条件の十分条件
– 別の条件は、ある条件の必要条件
– ある条件別の条件
– 別の条件が成立しないある条件が成立しない
(対偶)
必要十分条件
•
•
•
•
(ある条件⇒別の条件)かつ(別の条件⇒ある条件)
ある条件⇔別の条件
ある条件は別の条件の必要十分条件
ある条件と別の条件は同値(equivalent)
和集合と共通部分
A B
Aと Bのどちらかに属する要素からなる集合
A B
 A  B)
C
Aと Bの両方に属する集合
 A  B , A  B)  A  B
C
C
C
C
ド・モルガンの法則・・図を描くとすぐわかる
C
和集合と共通部分(沢山のとき)

A1 , A2 ,...のどれか属する要素からなる集合
A
i
i 1

i 1
Ai
n
A
i 1 i

A ,
A1 , A2 ,...のすべてに属する集合
有限のとき
n
A
i 1 i

A
集合に順番がつく ( 加算) と限らないとき
一般のド・モルガン法則

A
 
) 
C

C
A
 
) 
A
 
C
)
A
 
• 右に入っている要素が左に入っていて、左
に入っている要素が右に入っていることを
じっくり言葉で説明できる
• メカニカルな変形
x



C
    , x  A
C
A





,
x

A





,
x

A





 

  ,  x  A ))   x 


)
A  x 

A  x 


) 
A
)
C
)
C
加算集合と非加算集合
• 有限集合(finite set)
– 有限個の集合
• 加算集合(countable set)
– すべての要素が順番に並べられる
– 自然数と一対一対応ができる
• 非加算集合
– すべての要素が順番に並べられない
有理数の加算性
• 正の有理数は以下のように並べ、通分して同
じものは飛ばせば、どの有理数も必ずやがて
は出てくる
1
2
3
4
1
(1)
(2)
(6)
(7)
2
(3)
(5)
(8)
3
(4)
(9)
4
(10)
分母
分子
実数の非加算性
• 加算なら(0,1)の実数を順に並べられるとする。
• これを10進法で表す(0.1は0.099....の書き方
にする)
• 1番目の桁が一番目の数と違い、2番目の桁
が二番目の数と違う・・・というふうに作った数
は、実数だがリストに載っていない
• 選好と効用関数
二財の組み合わせで、どちらがいいかは無差別曲線で表される
行儀のいい選好は実数値を取る効用関数であらわすことができる
例・・対応する無差別曲線の原点との最
少距離
ビール
距離の自乗や対数も同じ選好に対応す
る効用関数
𝑥, 𝑦
𝑢 𝑥, 𝑦
辞書的選好
𝑥, 𝑦 ≻ 𝑥′, 𝑦′ ⇔
𝑥 > 𝑥′ or 𝑥 = 𝑥′&𝑦 > 𝑦′
一番目が単語の一番目のアルファベットに対応するので辞書的
効用関数であらわされるとすると
𝑢 𝑥, 1 , 𝑢 𝑥, 2
から、一つ有理数がとれる。
加算な有理数と非加算な無理数の間の一対一対応はできない
辞書的選好に対応する効用関数は存在しない
関数
Aから Bへの関数f  x )
Aの要素xが一つ決まると
Bの要素f  x ) が一つ決まる
関数
関数でない
Aから Bへの関数f  x )
A : 定義域( domai n)
B : 値域(range)
 y y  B, x, y  f  x )
関数の例
数列
a1 , a2 ,....
定義域
値域
自然数
実数
二項関係(例えば a  b ) 順序のついたペア (ordered {成り立つ、成り立
pair)
たない}
1
定積分
実関数
実数
 f  x )dx
0


f  C )  y y  B, x  C , y  f  x )
Cの像: C  Aの行き先
f
1
 D )  x x  A, y  D, y  f  x )
Dの逆像: D  Bの戻り先
逆像のほうがよく使われる


f
1
f
f
1
1
 D )  f
1
 D ) 
1
D ) 
C
f
1
f
 D)


C


)
)
D
D
f : A  Bの関数
上への写像(on to,surjection(全射)) f  A)  B
一対一(one to one,injection(単射))
f
-1
 y)の要素がたかだかひとつ
x  x '  f  x )  f  x ')
一対一(bijection(双射)) one to oneでonto
加算集合は自然数とのbijectionがある
n次元実ベクトル Rnの点
n個の実数を並べたもの・・
いろんな物の値段、いろんな人の所得
 x1 
 
x 
x 
 n
ちゃんとした書き方
x   x1 ,..., xn )
大雑把な書き方
Rnの定義と集合の記号の話を集める
Rnの収束
x   x ,..., x
1
1
1
1
n
), x   x
2
2
1
,..., x
2
n
) ,....が
x   x1 ,..., xn )に収束
べきではない
x 1  x1 ,..., x i  xi ,..x
k
k
k
n
 xnが
各i  1, 2..., nについて成立
Rnの距離
x y 
 x  y ) 
2
1
1
  xn  yn )
2
)
x   x1 ,..., xn )と y   y1,..., yn )の距離
2次元と3次元ではピタゴラス定理で出る
距離の公理
ある空間のペアの実数値関数で以下の公理を満たす
  x, y )  0
  x, y )    y, x )
  x, y )  0  x  y
  x, y )    y, z )    x, z )
三角不等式
距離のあるのが距離空間(metric space)
max  x1  y1 ,
, xn  yn )は別の距離
距離空間の収束
xn  x    xn , x )  0
• Rnでは、要素ごとの収束と同じ
max  x1  y1 ,
, xn  yn )はR nの別の距離
• 収束などは同じ・・同じ位相(topology)を与
える
線形空間
Xが(実)線形空間
x, y  X ,  ,   R   x   y  X
(実)線形空間のノルム
x  0, x  0  x  0,
x   x , x  y  x y
例 Rnの原点からの距離
線形空間(続き)
(実)線形空間の内積
 x, x )  0,  x, x )  0  x  0,
 x, y )   y , x ) ,
 x   y, z )    x, z )    y, z ) : ,   R
例 Rnの内積
 x, y )  i1 xi yi
n
内積・ノルム・距離の関係
 x, y )が内積

x 
 x, x )がノルム

  x, y )  x  y が距離
max  x1  y1 ,
, xn  yn )は内積から導けない
コーシー・シュワルツの不等式
 x, x ) y, y )   x, y )
0   x  y,  x  y )   2  x, x )  2  x, y )   y , y )
2
 判別式が負
4  x, y )  4  x, x ) y, y )  0
2
 x, x ) y, y )   x, y )
2

 x, x )   y, y )  2  x, x ) y, y )   x  y, x  y )   x, x )   y, y )  2  x, y )
 x, x )   y , y )   x  y , x  y ) 
x  y  x y
コーシー列と完備性
• 距離空間で先のほうでお互いにくっついていくの
がコーシー列
  0, N : n, m  N    x , x )   )
n
m
• コーシー列が収束するのが完備空間
内点、集積点と開集合、閉集合(1)
• 開球 (近傍): xから距離が以下の点の集合


B  x,  )  y y  x   , x  R ,   0
n
• Aが開集合・・ Aの各点がAに完全に入ってい
る近傍を持つ
x  A  B  x,  ) , B  x,  )  A
• 直感的にはつぶれないで端を含まない
内点、集積点と開集合、閉集合(2)
• Aの集積点・・ Aの点列の極限
– 同じ点を繰り返す数列は、OKなのでAの点は、す
べてAの集積点
– Aの集積点は、 Aに属するとは限らない
– Aの集積点の集合がAの閉包
A
A A
• Aがその集積点をすべて含むとき、閉集合
A A
内点、集積点と開集合、閉集合(3)
• 開集合の補集合は、閉集合で閉集合の補集
合は開集合
• 例・・すべての有理数の集合の閉包は、すべ
ての実数の集合
– すべての有理数の集合自体は、閉集合でも開集
合でもない
有界集合
• Aを含む開球があるときAは有界
• 開球でなくても無限に広がっていなければい
い
• 有界(bounded)と有限(finite)は違う
コンパクト集合
• Rnでは有界な閉集合(ハイネ・ボレルの被覆定理)
• 一般的な定義は、ハイネ・ボレルの被覆定理式
A
A
,
A
:
開集合




A1 ,..., An , A 
n
A
i 1 i
距離空間の連続関数
xn  x  f  xn )  f  x )
• 以下では連続でない行儀の悪い関数はほと
んど出ない
関数の逆像(1)
f
1
 A )  x : x  R
n
, f  x )  A
• つまり行き先がAに入る点の集合
• 逆写像は単調性を仮定し点なのに対し、
逆像は集合
例　f  x )  x  f
2
1
4)  2, 2
関数の逆像(2)
• 逆像は、都合のいい性質をすべて持つ
f
f
f
1
1
1


)
A )
A





 A )  f  A)
C
1


f
f
1
 A ),
1
 A ),
C
• 連続関数の開(閉)集合の逆像は開(閉)集合
– 連続関数のより一般的な定義
関数の像
f  A)   y : x  A, y  f  x )
• つまり集合の行き先
f  A  B )  f  A)  f  B )は等号では成立しない
f(A) f(B)
A B  

f  A  B)  
f(A)
A
B
f(B)
コンパクト集合の性質
• コンパクト集合上で連続関数は最大値と最小
値を取る
– 最大化の解が存在することをちゃんというには、
必要
– コンパクト集合の連続関数による像はコンパクト
– n次元実空間ではコンパクト集合と有界閉集合が
一致するので上の命題が出る
凸集合
A  R が凸集合
n
x  A, y  A,    0,1)   x  1   ) y  A
凸集合
凸集合でない
分離定理
二つの交わらない凸集合の間に分離超平面がある
いくつかのバージョンがある
   p1 ,..., pn , C )  R n 1 ,



 Both A and B are convex, 
 A B  
    x1 ,..., xn )  A  p1 x1  ..., pn xn  C 




x
,...,
x

B

p
x

...,
p
x

C
n)
1 1
n n
 1

分離定理の経済学への応用例
• 厚生経済学の第２基本定理の証明
• パレート効率的な資源配分は一括的な所得
再分配をすれば、完全競争市場均衡になる
• 分離超平面が価格ベクトル
ブラウアーの不動点定理
f : A  Aの関数
f の不動点 : f  x )  xとなる点
R で Aが有界閉凸集合で f が連続なとき
n
不動点が存在する : ブラウアーの不動点定理
対応(Correspondence)
• 部分集合への関数
対応の上半連続
yk  f  xk ) , xk  x, yk  y  y  f  x )
 x, y ) x  A, y  f  x )が閉
角谷の不動点定理
R の有界閉凸集合からその中の凸集合への
n
対応が上半連続で凸値なら不動点が存在する
対応の不動点はx  f  x )
グリコ・チョコレート・パイナップル
ゲーム
• グーで勝てば3歩進む
• チョキで勝てば6歩進む
• パーで勝てば6歩進む
• いつも同じ手では読まれて負けるのでランダ
ムに混ぜる必要がある
• どのようにランダムに混ぜるか
• どんな混合戦略をとるか
Aの戦略
Bの戦略
pG , pC , pP
qG , qC , qP
Aの期待利得
3 pG qC  6 pC qP  6 pP qG
Aの反応対応
qG , qC , qP に対してAの期待利得
3 pG qC  6 pC qP  6 pP qG
を最大にする
pG , pC , pP
の集合
RA  1, 0, 0 ) )   0, 0,1)
1 1 1
 qG , qC , qP )   , , 
4 2 4

3
3
3
3
3 pG qC  6 pC qP  6 pP qG  pG  pC  pP 
2
2
2
2
 1 1 1 
RA   , ,    S
 4 2 4 
S   x, y, z ) x  0, y  0, z  0, x  y  z  1
Nash均衡
 pG , pC , pP )  RA  qG , qC , qP ))
 qG , qC , qP )  RB  pG , pC , pP ))
お互いに手を変えないほうがいい
このゲームのNash均衡
 1 1 1   1 1 1 
 4 , 2 , 4 , 4 , 2 , 4 
 


普通のじゃんけんのNash均衡
 1 1 1   1 1 1 
 3 , 3 , 3 , 3 , 3 , 3 
 


一般の非協力ゲーム
Aの混合戦略 p   p1 ,..., pm )
Bの混合戦略 q   q1 ,..., qn )
m
Aの期待利得
n
 p q u
i 1 j 1
m n
Bの期待利得
i
j ij
 p q v
i 1 j 1
i
j ij
Aの最適反応対応
RA  q )
Bの最適反応対応
RB  p )
Nash均衡の存在
p  RA  q ) , q  RB p ) Nash均衡
RA  q ) , RB  p ) は上半連続
f  x, y ) が連続
   y )  arg max x f  x, y )は上半連続
 p, q )   RA  q ) , RB  p ) ) は上半連続
定義域が凸有界閉なので角谷不動点定
理が適用でき、  p, q )   RA  q ) , RB  p ) )
となる点がある
角谷定理の他の応用
• 一般均衡競争モデルの均衡価格の存在

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