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式と証明 6 (不等式の証明)
基本事項 1(不等式の証明 (1))
不等式の基本性質
実数 a, b, c に対して以下の性質が成り立つ。
(2)a > b =⇒ a + c > b + c, a − c > b − c
a
b
(4)a > b, c < 0 =⇒ ac < bc,
<
c
c
(1)a > b, b > c =⇒ a > c
a
b
(3)a > b, c > 0 =⇒ ac > bc,
>
c
c
実数の平方および平方和の符号
(1) 実数 a に対して，a2 ≥ 0
(a = 0 の時，等号成立)
(2) 実数 a, b に対して，a2 + b2 ≥ 0
(a = b = 0 の時，等号成立)
基本事項 2(不等式の証明 (2))
不等式の平方
a > 0, b > 0 の時
a2 > b2 ⇐⇒ a > b, a ≥ 0, b ≥ 0 の時
a2 ≥ b2 ⇐⇒ a ≥ b
絶対値の不等式
|a| ≥ a,
|a| ≥ −a
相加平均・相乗平均の不等式
a > 0, b > 0 の時，以下の不等式が成立する。
a+b √
≥ ab
2
(a = b の時，等号成立)
基本問題 01
(不等式の証明 (A − B > 0 の利用))[No.14111101]
(1) a > b, c > d の時，不等式 ac + bd > ad + bc を証明せよ。
(2) 2a > b > 0 の時，不等式
b+2
b
> を証明せよ。
a+1
a
(3) a ≥ b ≥ c の時，不等号 ab + bc ≥ ca + b2 を証明せよ。
基本問題 02
(不等式の証明 (A2 ≥ 0 の利用))[No.14111102]
(1) 2(x2 + y 2 ) ≥ (x + y)2 を証明せよ。
(2) x2 + 4xy + 5y 2 ≥ 10y − 25 を証明せよ。
応用問題 01
(コーシー・シュワルツの不等式)[No.14111103]
次の不等式を証明せよ。
(1) (a2 + b2 )(x2 + y 2 ) ≥ (ax + by)2
(ay = bx の時，等号成立)
(2) (a2 + b2 + c2 )(x2 + y 2 + z 2 ) ≥ (ax + by + cz)2
基本問題 03
(
√
(ay = bx かつ bz = cy かつ cx = az の時，等号成立)
を含んだ不等式の証明)[No.14111104]
√
√
b ≥ a + b を証明せよ。
√
√
√
(2) a ≥ 0, b ≥ 0 の時，不等式 a + b ≤ 2(a + b) を証明せよ。
√
√
√
(3) a ≥ 0, b ≥ 0 の時，不等式 2 a + 5 b ≥ 4a + 25b を証明せよ。
基本問題 04
(1) a ≥ 0, b ≥ 0 の時，不等式
|x| ≤
√
a+
(絶対値と不等式の平方)[No.14111105]
x2 + 1
を証明せよ。
2
基本問題 05
(三角不等式)[No.14111106]
次の不等式を証明せよ。
(1) |a + b| ≤ |a| + |b|
(2) |a| − |b| ≤ |a + b|
(3) |a + b + c| ≤ |a| + |b| + |c|
応用問題 02
(チェビシェフの不等式)[No.14111107]
(1) a ≥ b, x ≥ y の時，不等式 (a + b)(x + y) ≤ 2(ax + by) を証明せよ。
(2) a ≥ b ≥ c, x ≥ y ≥ z の時，不等式 (a + b + c)(x + y + z) ≤ 3(ax + by + cz) を証明せよ。
基本問題 06
(相加平均・相乗平均の不等式)[No.14111108]
9
≥ 6 を証明し，等号成立条件を求めよ。
a
(
)
1 2
+
(2) a > 0, b > 0 の時，不等式 (a + 2b)
≥ 9 を証明し，等号成立条件を求めよ。
a b
基本問題 07
(1) a > 0 の時，不等式 a +
(相加平均・相乗平均の不等式の応用)[No.14111109]
(
1
(1) x > 0, y > 0 の時， x +
y
(2) x > 0 の時，x +
(3) x > 0 の時，
x2
基本問題 08
a>
)(
9
y+
x
)
の最小値を求めよ。
16
の最小値を求めよ。
x+2
x+5
の最大値を求めよ。
+ 5x + 36
(大小比較問題)[No.14111110]
√
2 を満たす時，次の 3 つの数を小さい順に並べよ。
√
a+2
a 1
,
+ ,
2
a+1
2 a
[甲南大]
解答
基本問題 01[No.14111101]
2a − b
>0
a(a + 1)
(3) (左辺) − (右辺) = (a − b)(b − c) ≥ 0 (a = b または b = c で等号成立)
(1) (左辺) − (右辺) = (a − b)(c − d) > 0 (2) (左辺) − (右辺) =
基本問題 02[No.14111102]
(1) (左辺) − (右辺) = (x − a)2 ≥ 0
(x = y で等号成立)
(2) (左辺) − (右辺) = (x + 2y) + (y − 5)2 ≥ 0
2
(x = −10, y = 5 で等号成立)
応用問題 01[No.14111103]
(1) (左辺) − (右辺) = (ay − bx)2 ≥ 0
(2) (左辺) − (右辺) = (ay − bx)2 + (bz − cy)2 + (az − cx)2 ≥ 0
基本問題 03[No.14111104]
√
(1) (左辺)2 − (右辺)2 = 2 ab ≥ 0 (a = 0 または b = 0 で等号成立)
√
√
(2) (右辺)2 − (左辺)2 = ( a − b)2 ≥ 0 (a = b で等号成立)
√
(3) (左辺)2 − (右辺)2 = 20 ab ≥ 0 (a = 0 または b = 0 で等号成立)
基本問題 04[No.14111105]
(x2 − 1)2
(右辺)2 − (左辺)2 =
≥0
4
(x = ±1 で等号成立)
基本問題 05[No.14111106]
(1) (右辺)2 − (左辺)2 = 2(|ab| − ab) ≥ 0
(ab ≥ 0 で等号成立)
′
(2) (1) の a + b を a, −b を b で置き換える (b(a + b) ≤ 0 で等号成立)
(3) (1) を a と b + c に適用後，b と c に適用「
( a ≥ 0, b ≥ 0, c ≥ 0」または「a ≤ 0, b ≤ 0, c ≤ 0」で等号成立)
応用問題 02[No.14111107]
(1) (右辺) − (左辺) = (x − y)(a − b) ≥ 0 (x = y または a = b で等号成立)
(2) (右辺) − (左辺) = (x − y)(a − b) + (y − z)(b − c) + (z − x)(c − a) ≥ 0
「
( x = y または a = b」かつ「y = z または b = c」かつ「z = x または c = a」で等号成立)
基本問題 06[No.14111108]
(1) 相加平均・相乗平均の不等式を適用 (a = 3 で等号成立)
2a 2b
(2) 展開した後に， + に相加平均・相乗平均の不等式を適用 (a = b で等号成立)
b
a
基本問題 07[No.14111109]
(1) 16
(xy = 3 で等号成立)
基本問題 08[No.14111110]
a+2 √
a 1
< 2< +
a+1
2 a
(2) 6
(x = 2 で等号成立)
(3)
1
7
(x = 1 で等号成立)

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