数学解析 II 宿題７ 2014 後、担当：梅原、電シ（水 1-2）、電物（水 3-4）[07]
注意事項
1. この宿題は、提出しなくてよい。中間テストの範囲なので、テストまでに各自で取り組むこと。
2. 解答は、いつもの場所（http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/umehara/lecture2014 2.html）にあります。
問1
問2
C 2 級の 2 変数関数 f (x, y) に, x = u + 2v,
y = u2 v を代入し, 合成関数
C 2 級の 2 変数関数 f (x, y) に, x = r cos θ,
y = r sin θ を代入し, 合成関数
z = f (u + 2v, u2 v)
z = f (r cos θ, r sin θ)
を作る. 次を求めよ.
(1)
∂z
∂u ,
∂z
∂v
∂y
∂v
∂ z
∂v 2
(2)
[解答例（解説）]
を作る. このとき, 次が成り立つことを示せ.
2
∂ z
∂v∂u
(3)
∂x
∂u
(1)
2
∂x
∂v
= 1,
= 2,
fxx + fyy = zrr +
∂y
∂u
[解答例（解説）]
= 2uv,
= u2 である. 合成関数の微分により,
∂z
∂u
∂f ∂x
∂x ∂u
=
+
∂f ∂y
∂y ∂u
= fx · 1 + fy · 2uv
= fx + 2uvfy ,
∂z
∂v
∂f ∂x
∂x ∂v
=
+
= 2fx +
(2)
2
∂ z
∂v 2
=
(
∂
∂v
∂
(2fx
∂v
{
=2
∂z
∂v
∂f ∂y
∂y ∂v
u2 f
+
∂z
∂v
なので, (1) の
{
∂(fx )
∂v
∂(fx ) ∂y
∂y ∂v
+
= sin θ,
∂(fy ) ∂x
∂x ∂v
xy
+
+ u2
}
∂f ∂x
∂x ∂r
+
∂f ∂y
∂y ∂r
= fx cos θ + fy sin θ,
zθ =
∂z
∂θ
=
∂f ∂x
∂x ∂θ
+
∂f ∂y
∂y ∂θ
= r(−fx sin θ + fy cos θ)
u4 f
(
∂z
∂u
なので, (1) の
∂z
∂u
= fxx
+ 2uv
∂x
∂x
∂v
+
zrr +
}
sin θ
θ + 2fxy sin θ cos θ + fyy sin2 θ
1
z
r 2 θθ
= fxx + fyy −
1
r
(fx cos θ + fy sin θ)
= fxx + fyy − r1 zr
となるから, 右辺の
∂y }
1
z
r r
を左辺に移項すれば証明は終わりで
ある.
∂(fy )
∂y ∂v
(終わり)
※本問の結果は, ラプラシアンが, 極座標変換によってどのよ
うに変わるかを示している.
あ
あ
となる. これが答えである. この結果を,
と表してもよい.
∂(fy ) ∂y
∂y ∂r
を得る. よって,
= 2fxx + (u2 + 4uv)fxy + 2u3 vfyy + 2ufy
∂
+ 2uv ∂y
+
− r(fx cos θ + fy sin θ)
+ 2uv(fyx · 2 + fyy · u2 )
∂
∂x
∂(fy ) ∂x
∂x ∂r
を代入して,
= fxx · 2 + fxy · u2 + 2ufy
{(
cos2
∂(fx )
∂y
sin θ
}
∂y
cos θ
∂r
zθθ = {r(−fx sin θ + fy cos θ)}θ
{
}
∂(f )
∂(f )
= r − ∂θx sin θ − fx cos θ + ∂θy cos θ − fy sin θ
[ {
}
∂(fx ) ∂x
∂(f )
=r −
+ ∂yx ∂y
sin θ − fx cos θ
∂x ∂θ
∂θ
]
{
}
∂(fy ) ∂x
∂(fy ) ∂θ
+
+
cos
θ
−
f
sin
θ
y
∂x ∂θ
∂y ∂r
(
)
2
2
= r fxx sin θ − 2fxy sin θ cos θ + fyy cos2 θ
∂
+ 2uvfy ) = ∂vx + 2u ∂v
(vfy )
{
}
∂(f )
∂(f )
= ∂vx + 2u 1 · fy + v ∂vy
{
}
∂(fx ) ∂x
∂(f )
=
+ ∂yx ∂y
+ 2ufy
∂x ∂v
∂v
{ ∂(fy )
+
{
∂(fy )
∂r
を得る. 同様にして,
∂(f )
∂
(f
∂v x
∂(fx ) ∂x
∂x ∂r
+
yy
)
cos θ +
}
と書き表すのもよい.
∂
∂v
∂(fx )
∂r
{
=
∂(fy ) ∂y
∂y ∂v
+
=
(
)2
∂
∂
+ u2 ∂y
f
2 ∂x
=
= −r sin θ,
= r cos θ に注意して, z を偏微分すると,
=
∂(fy )
∂v
とを用いた). これが答えである. また, この結果を,
∂2 z
∂v∂u
∂x
∂θ
zrr = (zr )r = (fx cos θ + fy sin θ)r
となる (最後の等号で, f が C 2 級だから fxy = fyx であるこ
(3)
= cos θ,
∂z
∂r
を代入して,
= 4fxx + 2u2 (fxy + fyx ) + u4 fyy
= 4fxx +
∂x
∂r
zr =
= 2(fxx · 2 + fxy · u2 ) + u2 (fyx · 2 + fyy · u2 )
4u2 f
∂y
∂θ
となる. さらに偏微分して,
)
∂(fx ) ∂x
∂x ∂v
u2
= fx · 2 + fy · u2
y
+ u2 fy ) = 2
証明したい式の右辺を計算して左辺に一
致させる方針でいく. まず,
∂y
∂r
1
1
zθθ + zr
r2
r
あ
)(
)
}
∂
∂
∂
2 ∂x
+ u2 ∂y
+ 2u ∂y
f
あ
あ
(終わり)
あ
1
問3
問4
2 変数関数 f (x, y) に,
{
x = u cos α − v sin α,
y = u sin α + v cos α
[解答例（解説）]
を代入したものを g(u, v) とする. ここで α は定数
(終わり)
である. 次を示せ.
fxx + fyy = guu + gvv
あ
あ
あ
あ
[解答例（解説）]
まず,
∂x
∂u
∂y
∂u
あ
= cos α,
∂x
∂v
= − sin α,
あ
= sin α,
∂y
∂v
= cos α
あ
を求めておく. さて,
gu =
∂g
∂u
=
あ
∂f ∂x
∂x ∂u
+
∂f ∂y
∂y ∂u
あ
= fx cos α + fy sin α
あ
である. さらに微分して,
( )
∂g
∂
∂
guu = ∂u
= ∂u
(fx cos α + fy sin α)
∂u
{
=
∂(fx ) ∂x
∂x ∂u
+
{
∂(fx ) ∂y
∂y ∂u
∂(fy ) ∂x
∂x ∂u
+
あ
あ
}
+
あ
cos α
∂(fy ) ∂y
∂y ∂u
}
あ
sin α
あ
= (fxx cos α + fxy sin α) cos α
あ
+ (fyx cos α + fyy sin α) sin α
あ
= fxx cos2 α + (fxy + fyx ) cos α sin α + fyy sin2 α
あ
あ
となる. 同様に,
あ
gvv = fxx sin2 α − (fxy + fyx ) cos α sin α + fyy cos2 α
あ
が得られるので, この 2 式を足すと,
あ
guu + gvv = fxx + fyy
あ
となる.
(終わり)
あ
あ
※ (x, y) 座標の敷かれた 2 次元空間 (平面) を, まるごと α だ
あ
け回転させると, (u, v) 座標が敷かれた 2 次元空間に写る. こ
あ
のことは,
あ
(
x
y
)
(
=
cos α
sin α
− sin α
cos α
)(
u
v
)
あ
あ
と表現すると, 右辺に回転を表す行列が現れていることからわ
あ
かるだろう. 本問の結果は, (x, y) 座標の敷かれた空間におけ
あ
るラプラシアン
∂2
∂x2
+
あ
∂2
∂y 2
( = △(x,y) と書くことにする)
あ
あ
と, 回転後の (u, v) 座標の空間におけるラプラシアン
△(u,v) =
2
∂
∂u2
+
あ
2
∂
∂v 2
あ
が, 任意の関数に対して同じ作用を及ぼすこと, すなわち,
あ
—– 通信欄（授業や宿題に関して何かあれば） ——
あ
△(x,y) f = △(u,v) f
を意味している. 言い換えれば, 座標系を回転してもラプラシ
あ
アンに影響はないというわけである.
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
あ
2