東大 92年数学

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東大　９２年　数学
xyz
空間において、
x 軸と平行な柱面　A = { ( x , y , z ) y 2 + z 2 = 1 , x , y , z は実数 } から
x , y , z ) x 2 - 3 x z + z 2 = 1 , x , y , z は実数 }
4
により囲まれる部分を切り抜いた、残りの図形を C とする。
図形 C の展開図をえがけ。ただし点 ( 0 , 1 , 0 ) を通り、 x 軸と平行な直線に沿って C
軸と平行な柱面　B = { (
y
を切り開くとする。
【答案】
yz
点
平面上の円
( 0 , 1, 0 )
y 2 + z 2 = 1 , x = 0 の周上において
から正の向きに中心角 q （ 0 ≦q ≦ 2 p ）だけまわった点を通り、
y = cosq , z = sin q
この直線と、次の柱面
B
①の
：
z
B
x 軸と平行な直線 f (q )
の方程式は
...　①
の交点の
x2 - 3 x z + z 2 = 1
4
x 座標を求める
...　②
を②に代入して
x 2 - 3 x ( sin q ) + ( sin q ) 2 = 1
4
2
3 sin q ± 3 sin q - ( 4 sin 2 q - 1)
x=
2
3 sin q ± cosq
=
2
= sin æçq ± p ö÷
6ø
è
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yz
直線
平面上の円
f (q )
２つの実数
上で、柱面
a, b
B
に対する弧の長さは q である
によって切り抜かれる部分の
について、大きくない方を
y
座標は
min { a , b } 、小さくない方を max { a , b } と表すことにすれば
min ìí sin æçq + p ö÷ , sin æçq - p ö÷ üý ≦ x ≦ max ìí sin æçq + p ö÷ , sin æçq - p ö÷ üý
6ø
6øþ
6ø
6øþ
è
è
è
è
î
î
よって　図形
y 2 + z 2 = 1 の、中心角 q
C
の展開図は、 q
x
平面上の、次の不等式で表される領域である
x ≦ sin æçq - p ö÷ , sin æçq + p ö÷ ≦ x
6ø
6ø
è
è
x ≦ sin æçq + p ö÷ , sin æçq - p ö÷ ≦ x
6ø
6ø
è
è
（図は省略）
p , 3 p ≦q ≦ 2 p ）
2 2
3p
p
）
（ ≦q ≦
2
2
（ 0 ≦q ≦

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