統計力学1演義 No. 14 7/17/14 [演習問題] 担当:大橋 琢磨 TA: 比嘉 亮太 [採点対象外] 1. 2 個の粒子があり,これらの粒子が 3 つエネルギー準位 ϵn = nϵ (n = 0, 1, 2) を占め ることのできる系を考える.ここで,ϵ は正の定数である. (a) 以下の場合に対して,取り得る全ての状態とそのエネルギーを書き下せ. i. それぞれの粒子を区別することはできず,2 つ以上の粒子が 1 つのエネル ギー準位を占めることのできない場合 ii. それぞれの粒子を区別することはできないが,1 つのエネルギー準位を粒 子がいくつでも占めることのできる場合 iii. それぞれの粒子を区別することができ,1 つのエネルギー準位を粒子がい くつでも占めることのできる場合 ここで,i. の統計性を持つ粒子をフェルミ粒子,ii. をボーズ粒子と呼び,iii. は 古典的粒子である. (b) 上のそれぞれの場合に対して,分配関数を計算せよ. 2. 量子力学的自由粒子について考える.i 番目の状態に対するエネルギーを ϵi とし,i ∑ 番目のエネルギー準位を占める粒子数を ni とすると,全粒子数は N = i ni ,全エ ∑ ネルギーは E = i ϵi ni と書ける. (a) 粒子がフェルミ統計に従う場合,大分配関数が ] ∏[ ZG = 1 + e−β(ϵi −µ) i となることを示せ.また,状態 i にある粒子数 ni の期待値が [ ]−1 ni = e−β(ϵi −µ) + 1 となることを示せ.ここで,µ は化学ポテンシャル,β = 1/kB T である. (b) 粒子がボーズ統計に従う場合,大分配関数が ZG = ]−1 ∏[ 1 − e−β(ϵi −µ) i となることを示せ.また,状態 i にある粒子数 ni の期待値が [ ]−1 ni = e−β(ϵi −µ) − 1 となることを示せ. 3. 自由なフェルミ粒子が N 個あり,状態密度 D(ε) が, { 1 ∑ D D(ε) = δ(ϵ − ϵi ) = N 0 i (ε ≥ 0) . (ε < 0) で与えられている. (a) 絶対零度における化学ポテンシャルを求めよ. (b) kB T ≪ µ の低温の場合,この系は (フェルミ) 縮退していると呼ぶ.フェルミ 縮退するための条件を N , D, T を用いて書き直し,その物理的意味について議 論せよ. (c) 系がフェルミ縮退している場合において,エネルギーの期待値を求め,比熱が 温度に比例することを示せ. 演義の homepage: http://wwwacty.phys.sci.osaka-u.ac.jp/~ohashi/teaching/ssm1/index.html
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