情報技術

情報技術
～2値の論理と演算～
2014年5月1日
笠井俊信
今回の目標
2値情報を扱う基本となる理論（プール代数）に
ついて学び，それがハードウェアの実現にどの
ように用いられるかを学ぶ．
プール代数
• 論理（2値）を扱う
• （論理）変数は論理値（0 or 1）をとる
• 2値の入力と出力の関係は，論理変数に対する
（論理）演算からなる（論理）関数によって定義
• 論理演算の機能を持つ論理素子を使って，論理
関数を回路で表現したものが論理回路
• コンピュータは基本的に論理回路で構成
基本論理演算
• 論理積（乗法 AND） x･y
– 2変数がともに1の時，論理積は1
– 2変数のいずれかが0の時，論理積は0
• 論理和（加法 OR） x+y
– 2変数のいずれかが1の時，論理和は1
– 2変数がともに0の時，論理和は0
• 論理否定（否定 NOT） x
– 変数が0の時，論理否定は1
– 変数が1の時，論理否定は0
演算の優先順位は，否定，乗法，加法の順
真理値表
論理変数の値とそれに対する論理関数の値の関係の表
x
y
x･y
x+y
x
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
プール代数の定理
名称
単位元則
零元則
べき等則
補元則
交換則
結合則
分配則
吸収則
ド･モルガン則
AND形式
x･1=x
x･0=0
OR形式
x+0=x
x+1=1
x･x=x
x･x=0
x+x=x
x･y=y･x
(x･y)･z=x･(y･z)
x+y･z=(x+y)･(x+z)
x+y=y+x
(x+y)+z=x+(y+z)
x･(x+y)=x
x･y=x+y
x+x=1
x･(y+z)=x･y+x･z
x+x･y=x
x+y=x･y
例題1
分配則x+y･z=(x+y)･(x+z)を真理値表で確かめよ
x
0
0
0
0
1
1
1
1
y
0
0
1
1
0
0
1
1
z
0
1
0
1
0
1
0
1
y･z
0
0
0
1
0
0
0
1
x+y x+z
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
(x+y)･(x+z)
0
0
0
1
1
1
1
1
x+y･z
0
0
0
1
1
1
1
1
論理式の作り方
すべての論理関数は，真理値表，論理式で表現すること
が可能．
論理式を回路で構成したものが論理回路であり，論理式
と1対1に対応
• 入力のすべての組み合わせのうち，出力が1の
ものだけについて，入力が1のものはそのまま，0
なら否定したものの積の式を書く．この式を最小
項という．
• 最小項の論理和が求める論理式である．
主加法標準形 or 積和標準形
例題2
3入力のうち，多数が1の時出力1となり，多数が0
の時出力0となる多数決論理の論理式を書け
x
y
z
f
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
1
x･y･z
x･y･z
x･y･z
x･y･z
f = x･y･z + x･y･z +
x･y･z + x･y･z
演習問題
• 吸収則x･(x+y)=x, x+x･y=xを真理値表で
確かめよ
• 2入力の比較器(2入力が同じなら1，異なる
なら0を出力)の真理値表と論理式を書け
演習問題1
吸収則x･(x+y)=x, x+x･y=xを真理値表で確かめよ
x
y
x+y
x･(x+y)
x･y
x+x･y
0
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
1
0
0
0
1
0
0
1
1
演習問題2
2入力の比較器(2入力が同じなら1，異なるなら0
を出力)の真理値表と論理式を書け
x
y
f
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
x･y
f = x･y+ x･y
x･y
x y
0
0
1
1
0
1
0
1
x･y x･y x･y+ x･y
1
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
f
1
0
0
1

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