08情報科学概論(4):2値論理計算 2008年5月8日 田中美栄子 今回の目標 2値情報を扱う基本となる理論(ブール代数) から アーキテクチャ(ハードウェアの実現)へ 2進 16進 01000000 40 01000010 42 01000100 44 01000110 46 01001000 48 01001010 4A 01001100 4C 01001110 4E 01010000 50 10進 64 66 68 70 72 74 76 78 80 2進16進 01000001 41 01000011 43 01000101 45 01000111 46 01001001 49 01001011 4B 01001101 4D 01001111 4F 10進 65 67 69 71 73 75 77 79 符号化の話 2進表示 8進表示 16進表示 10進表示 文字 ビット組合せ 1000001 101 41 65 A 4/1 • ASCII符号 American Standard Code for Information Interchange ASCII コード表 00 NUL| 01 SOH| 02 STX| 03 ETX| 04 EOT| 05 ENQ| 06 ACK| 07 BEL|| 08 BS | 09 HT | 0A NL | 0B VT | 0C NP | 0D CR | 0E SO | 0F SI || 10 DLE| 11 DC1| 12 DC2| 13 DC3| 14 DC4| 15 NAK| 16 SYN| 17 ETB||18 CAN| 19 EM | 1A SUB| 1B ESC| 1C FS | 1D GS | 1E RS | 1F US || 20 SP | 21 ! | 22 " | 23 # | 24 $ | 25 % | 26 & | 27 ' 28 (| 29 ) | 2A * | 2B + | 2C , | 2D - | 2E . | 2F / || 30 0 | 31 1 | 32 2 | 33 3 | 34 4 | 35 5 | 36 6 | 37 7 || 38 8 | 39 9 | 3A : | 3B ; | 3C < | 3D = | 3E > | 3F ? || 40 @ | 41 A | 42 B | 43 C | 44 D | 45 E | 46 F | 47 G | 48 H | 49 I | 4A J | 4B K | 4C L | 4D M | 4E N | 4F O || 50 P | 51 Q | 52 R | 53 S | 54 T | 55 U | 56 V | 57 W || 58 X | 59 Y | 5A Z | 5B [ | 5C \ | 5D ] | 5E ^ | 5F _ || 60 ` | 61 a | 62 b | 63 c | 64 d | 65 e | 66 f | 67 g || 68 h | 69 i | 6A j | 6B k | 6C l | 6D m | 6E n | 6F o || 70 p | 71 q | 72 r | 73 s | 74 t | 75 u | 76 v | 77 w || 78 x | 79 y | 7A z | 7B { | 7C | | 7D } | 7E ~ | 7F DEL| 「ABC」3文字はコンピュータ内部では41 42 43 (16) 「123」3文字は、31 32 33 (16) と表現さ れる。 • ASCII コード表で、16進で 00 から 1F と 7F は、 普通の文字ではなく、制御文字(control character,制御コード)。 • 0D (CR, Carriage Return)復帰(リターン) 漢字コード • JIS 31 32 33 1B 24 42 34 41 3B 7A 1B 40 66 34 35 36: 1 2 3 ESC $ B 漢 字 ESC ( J D E F • EUC 31 32 33 B4 C1 BB FA 34 35 36 A B C 漢 字 D E F • SJIS 31 32 33 8A BF 8E 9A 34 35 36 A B C 漢 字 D E F • つまり、ノイマン式コンピュータはいろいろな 情報を2進数で記憶し、それらの演算をやっ ているだけなのである • 演算は単純化される • 入力→演算→出力 を自動的に行う素子で 回路を組み立てる(論理回路) • すると、コンピュータができる ブール代数:Boolean Algebra • Booleさんの作った論理数学 • 論理変数(真/偽の2値:1と0で代用する)を扱う • 基本演算はAND,OR,NOT • 論理演算の機能を持つ論理素子を使って,論理関 数を回路で表現したものが論理回路 • ノイマン・コンピュータは基本的に論理回路で構成 基本論理演算 • 論理積(乗法 AND) x・y – 2変数がともに1の時,論理積は1 – 2変数のいずれかが0の時,論理積は0 • 論理和(加法 OR) x+y – 2変数のいずれかが1の時,論理和は1 – 2変数がともに0の時,論理和は0 • 論理否定(否定 NOT) x – 変数が0の時,論理否定は1 – 変数が1の時,論理否定は0 演算の優先順位は,否定,乗法,加法の順 真理値表 論理変数の値とそれに対する論理関数の値の関係の表 x y x・y x+y x 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0 ブール代数の定理 名称 単位元則 零元則 べき等則 補元則 交換則 結合則 分配則 吸収則 ド・モルガン則 AND形式 x・1=x x・0=0 x・x=x x・x=0 x・y=y・x (x・y)・z=x・(y・z) x+y・z=(x+y)・(x+z) x・(x+y)=x x・y=x+y OR形式 x+0=x x+1=1 x+x=x x+x=1 x+y=y+x (x+y)+z=x+(y+z) x・(y+z)=x・y+x・z x+x・y=x x+y=x・y 例題1 分配則x+y・z=(x+y)・(x+z)を真理値表で確かめよ x 0 0 0 0 1 1 1 1 y 0 0 1 1 0 0 1 1 z 0 1 0 1 0 1 0 1 y・z 0 0 0 1 0 0 0 1 x+y x+z 0 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (x+y)・(x+z) 0 0 0 1 1 1 1 1 x+y・z 0 0 0 1 1 1 1 1 論理式の作り方 すべての論理関数は,真理値表,論理式で表現できる. 論理式を回路で構成したものが論理回路(論理式と1対1 対応) • 入力のすべての組み合わせのうち,出力が1の ものだけについて,入力が1のものはそのまま, 0なら否定したものの積の式を書く.この式を最 小項という. • 最小項の論理和が求める論理式である. 主加法標準形 or 積和標準形 例題2 3入力のうち,多数が1の時出力1となり,多数が0 の時出力0となる多数決論理の論理式を書け x y z f 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 x・y・z x・y・z x・y・z x・y・z f = x・y・z + x・y・z + x・y・z + x・y・z 演習問題 • 吸収則x・(x+y)=x, x+x・y=xを真理値表で確 かめよ • 2入力の比較器(2入力が同じなら1,異なるな ら0を出力)の真理値表と論理式を書け 演習問題1 吸収則x・(x+y)=x, x+x・y=xを真理値表で確かめよ x y 0 0 1 1 0 1 0 1 x+y x・(x+y) x・y x+x・y 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 演習問題2 2入力の比較器(2入力が同じなら1,異なるなら0 を出力)の真理値表と論理式を書け x y f 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 x・y f = x・y+ x・y x・y x y 0 0 1 1 0 1 0 1 x・y x・y x・y+ x・y 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 f 1 0 0 1
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