第4回（5月7日）

論理回路
第４回
http://www.fit.ac.jp/~matsuki/LCA.html
今日の内容
• 前回の課題の解説
• ブール代数
– 公理(P1 – P5)
– 定理(T1 – T5)
– 定理(T6 – T10)
基本論理演算（論理積：AND）
真理値表
回路図
A
B
f
A
0
0
B
0
1
f
0
0
1
1
0
1
0
1
ブール代数（代数式）
f = A・B
AかつB（A and B）と読む
基本論理演算（論理和：OR）真理値表
回路図
A
B
f
A
0
0
真理値表
B
0
1
f
0
1
1
1
0
1
1
1
ブール代数（代数式）
f = A+B
AまたはB（A or B）と読む
基本論理演算（否定：NOT）
真理値表
真理値表
回路図
A
A
1
0
f
f
0
1
ブール代数（代数式）
f=A
Aでない（not A）と読む
ブール代数（Boolean algebra）
• 論理演算を表す代数式
– f = A・B
–f=A+B
–f=A
ブール代数
• 公理：
２つの定数０と１に関する論理積，論理和，
否定などの演算の基礎法則
• 定理：
公理をもとに導かれる法則（公理を
使って証明する必要がある）
ブール代数（公理P1～P5）
• P1 (a):
(b):
• P2 (a):
(b):
• P3 (a):
(b):
• P4 (a):
(b):
• P5 (a):
(b):
もしA≠0ならば，A=1
もしA≠1ならば，A=0
0・0=0
1+1=1
1・1=1
0+0=0
0・1=0・1=0
1+0=0+1=1
(a)と(b)は双対の
1=0
関係にある
0=1
ブール代数（公理P2）
P2の場合
(b) 1+1 = 1
(a) 0・0 = 0
0
0
0
AND
1
1
1
OR
ブール代数（公理P3）
P3の場合
(b) 0+0 = 0
(a) 1・1 = 1
1
1
1
AND
0
0
0
OR
ブール代数（公理P4）
P4の場合
(b) 1+0 = 1
(a) 0・1 = 0
0
1
0
AND
1
0
1
OR
ブール代数（公理P5）
P2の場合
(a) 1 = 0
1
(b) 0 = 1
0
NOT
0
1
ブール代数（定理T1～T5）
• T1 (a):
(b):
• T2 (a):
(b):
• T3 (a):
(b):
• T4 (a):
(b):
• T5 (a):
(b):
A・B = B・A
交換律
A+B=B+A
(AB)C = A(BC)
(A + B) + C = A + (B + C) 結合律
(A + B)(A + C) = A + BC
分配律
AB + AC = A(B + C)
A・0 = 0
A+1=1
(a)と(b)は双対の
A・1 = A
関係にある
A+0=A
ブール代数（定理T6～T10）
• T6 (a): A・A = 0
補元律
(b): A + A = 1
• T7 (a): A・A = A
べき等律
(b): A + A = A
• T8 (a): A(A + B) = A
吸収律
(b): A + AB = A
二重否定
• T9 : (A) = A
• T10 (a): (A・B) = A + B
ド・モルガンの定理
(b): (A + B) = A・B
ブール代数（定理T10’）
• T10’ (a): (A・B・C・…) = A + B + C + …
(b): (A + B + C + …) = A・B・C・…
多変数のド・モルガンの定理
ブール代数（定理T1）
• T1 (a): A・B = B・A
(b): A + B = B + A
A
B
B
A
交換律
A・B
A
B
A+B
B・A
B
A
B+A
ブール代数（定理T2）
• T2 (a): (AB)C = A(BC)
(b): (A + B) + C = A + (B + C)
AB
A
B
C
(AB)C
A
B
A(BC)
C
BC
結合律
ブール代数（定理T3）
• T3 (a): (A + B)(A + C) = A + BC
(b): AB + AC = A(B + C)
分配律
B
A
(A + B)(A + C)
C
A
B
C
A + BC
ブール代数（定理T4）
• T4 (a): A・0 = 0
(b): A + 1 = 1
A
0
0
A
1
1
ブール代数（定理T5）
• T5 (a): A・1 = A
(b): A + 0 = A
A
1
A
A
0
A
練習問題【定理T4 (a)の証明】
問) A・0 = 0が成り立つことを証明しなさい。
解）公理P1により、Aが0のときと1のとき、T4(a)
が成立することを証明すれば良い。
(1)A = 0のとき
A・0 = 0・0 = 0 [公理P2(a)]
(2) A = 1のとき
A・0 = 1・0 = 0 [公理P4(a)]
よって、T4(a)は成立する。
問題【定理T5 (a)の証明】
問) A・1 = Aが成り立つことを証明しなさい。
解）公理P1により、Aが0のときと1のとき、T4(a)
が成立することを証明すれば良い。
(1)A = 0のとき
A・1 = 0・1 = 0 = A [公理P4(a)]
(2) A = 1のとき
A・1 = 1・1 = 1 = A [公理P3(a)]
よって、T5(a)は成立する。
練習問題【定理T3 (a)の証明】
問) 定理T3(a)が成り立つことを真理値表を用いて証
明しなさい。
解）変数A,B,Cによる真理値すべての組み合わせで、
T3(a)の左辺と右辺が同じであることを示せば良い。
T3(a)の右辺
A+B
A+C
(A+B)(A+C)
B・C
A + BC
000
0
0
0
0
0
001
0
1
0
0
0
…
…
…
…
…
…
ABC
T3(a)の左辺
111
1
1
1
1
1
上記表より、すべてのA,B,Cの組み合わせにおいて、(A+B)(A+C)とA+BCが等し
いことを確認した。よって、定理T3(a)は成り立つ。
注意事項
• 講義に関する質問・課題提出など：
[email protected]
• メールについて
件名は，学籍番号＋半角スペース＋氏名
（例）S09F2099 松木裕二
本文にも短いカバーレター（説明）をつける
課題はWordなどで作り，添付ファイルとして送る

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