平成 26 年度微積分解法演習 1 ( H26. 学籍番号 氏名 担当 佐藤邦 ) ( 次回の講義開始時に回収します。 解以外の途中の計算等も余白に書くこと。 ) 問1 次の数列の極限を求めよ。 { } n6 3 −n n3 + 2 {√ } 9n2 + 2n − 2 − 3n (1) (3) ( (1) (2) (3) lim n→∞ n6 − n3 n3 + 2 ) { (2) (4) } 3n4 − 4 3 + 6n4 {3 −(2n )} √ √ n2 4n6 − 6n − 4n6 + 6n n6 − n6 − 2n3 −2n3 −2 −2 = lim = lim = = −2 2 3 3 n→∞ n→∞ n + 2 n→∞ 1 + 3 n +2 1+0 n = lim 3 − n44 3−0 1 = = 3 2 0−0+6 2 − n +6 n4 (√ ) 9n2 + 2n − 2 − 9n2 2n − 2 lim 9n2 + 2n − 2 − 3n = lim √ = lim √ n→∞ n→∞ 9n2 + 2n − 2 + 3n n→∞ 9n2 + 2n − 2 + 3n 3n4 − 4 = lim n→∞ 3 − 2n3 + 6n4 n→∞ lim 2 − n2 2−0 2 2 1 =√ = lim √ = = = n→∞ 3+3 6 3 9+0−0+3 9 + n2 − n22 + 3 (4) (√ ) √ n2 (4n6 − 6n − (4n6 + 6n)) −12n3 √ √ 4n6 − 6n − 4n6 + 6n = lim √ = lim √ n→∞ n→∞ n→∞ 4n6 − 6n + 4n4 + 6n 4n6 − 6n + 4n6 + 6n −12 −12 −12 −12 √ √ = = = −3 = lim √ =√ n→∞ 2+2 4 4−0+ 4+0 4− 6 + 4+ 6 lim n2 n5 (1) の答え 問2 (1) n5 −2 1 2 (2) の答え (3) の答え 1 3 (4) の答え −3 ( ) 次の数列の収束・発散を調べよ。 答えは、に収束、に発散、で振動と書くこと { } { } { } { } 2n2 + 3 5n2 − 4 2 + 3n(−1)n n2 − 2 (2) (3) (4) n(4n − 5) n(3n2 + 2) 4−n 3n − (−0.7)n 2 + n32 2n2 + 3 1 2n2 + 3 2+0 = lim = lim = = 5 2 n→∞ 4n − 5n n→∞ 4 − n→∞ n(4n − 5) 4−0 2 n 1 に収束 ) 2 ( (1) lim 5 − n43 5n2 − 4 5n2 − 4 0−0 0 n (2) lim = lim = lim = = =0 2 2 3 n→∞ n(3n + 2) n→∞ 3n + 2n n→∞ 3 + 2 3+0 3 n 2 + 3n = n→∞ 4 − n (3) n 偶数で lim 2 n 4 n +3 2 − 3n = = −3, n 奇数で lim n→∞ 4 − n −1 n − n2 n2 − 2 = lim n→∞ 3 − (−0.7)n · n→∞ 3n − (−0.7)n (4) lim (1) の答え 1 に収束 2 (2) 1 n = 2 n 4 n −3 = 3 ( ±3 で振動、又は収束しない ) −1 ∞−0 ∞ = =∞ 3−0·0 3 0 に収束 (3) ( 0 に収束 ) ( ∞ に発散 ) ±3 で振動 (4) ∞ に発散 問3 次の数列 {an } の極限値 lim an を求めよ。 n→∞ 1 an (6 − an ) (n = 1 , 2 , · · · ) 4 1 = an (6 − an ) (n = 1 , 2 , · · · ) 4 1 = an − 2 (n = 1 , 2 , · · · ) 3 = 3 an + 6 (n = 1 , 2 , · · · ) √ = 3 an + 4 (n = 1 , 2 , · · · ) √ = 3 an − 4 (n = 1 , 2 , · · · ) (1) a1 = 1 , an+1 = (2) a1 = 8 , an+1 (3) a1 = 2 , an+1 (4) a1 = 2 , an+1 (5) a1 = 2 , an+1 (6) a1 = 2 , an+1 y 図1 (1) y = x と y = f (x) との交点を考える。 lim an = α とおくと 6 0 n→∞ 図1より 0 < x < 6 の範囲では1点に収束するので α= y=x 1 α (6 − α) → 4 α = 6 α − α2 → α2 − 2 α = α(α − 2) = 0 4 → α=0, 2 x 2 3 ∴ lim an = 2 y = 14 x(6 − x) n→∞ (2) a2 = −4 , a3 = −10 < 0 以下 an < −2n < 0 (n < = 3) ( ) (図1をたどっても) lim an = −∞ 正確には帰納法で n→∞ ) 1 1( an − 2 + 3 = an + 3 より 3 3 ) ) ) 1( 1( 1( 5 5 an+1 + 3 = an + 3 = 2 an−1 + 3 = · · · = n a1 + 3 = n → lim n = 0 より lim an = −3 n→∞ 3 n→∞ 3 3 3 3 ( ) (4) an+1 + 3 = 3 an + 6 + 3 = 3 an + 3 より y 図2 ( ) ( ) ( ) 2 n n an+1 + 3 = 3 an + 3 = 3 an−1 + 3 = · · · = 3 a1 + 3 = 5 · 3 √ y = 3x + 4 n lim 5 · 3 = ∞ より lim an = ∞ (3) an+1 + 3 = n→∞ n→∞ √ 3 x + 4 と y = x の交点を求めると ( )( ) x2 − 3x − 4 = x − 4 x + 1 = 0 y=x (5) 図2より y = x − 43 0 y > 0 → x > 0 より x = 4 ∴ lim an = 4 n→∞ √ (6) 図3より y = 3 x − 4 と y = x の交点を求めると 4 y 図3 y= ( 3 )2 7 + = ̸ 0 x2 − 3x + 4 = x − 2 4 x 実数より解は存在しない (1) の答え (4) の答え ∴ lim an は存在しない n→∞ (2) lim an = ∞ (5) n→∞ 3x − 4 y=x lim an = 2 n→∞ √ 0 x 4 3 lim an = −∞ (3) lim an = 4 (6) n→∞ n→∞ 4 lim an = −3 n→∞ lim an は存在しない n→∞
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