1回目 - 佐藤(邦)

平成 26 年度微積分解法演習１
（ H26.
学籍番号
氏名
担当佐藤邦）
（次回の講義開始時に回収します。
解以外の途中の計算等も余白に書くこと。）
問１
次の数列の極限を求めよ。
{
}
n6
3
−n
n3 + 2
{√
}
9n2 + 2n − 2 − 3n
(1)
(3)
(
(1)
(2)
(3)
lim
n→∞
n6
− n3
n3 + 2
)
{
(2)
(4)
}
3n4 − 4
3 + 6n4
{3 −(2n
)}
√
√
n2
4n6 − 6n − 4n6 + 6n
n6 − n6 − 2n3
−2n3
−2
−2
=
lim
= lim
=
= −2
2
3
3
n→∞
n→∞ n + 2
n→∞ 1 + 3
n +2
1+0
n
= lim
3 − n44
3−0
1
=
=
3
2
0−0+6
2
− n +6
n4
(√
)
9n2 + 2n − 2 − 9n2
2n − 2
lim
9n2 + 2n − 2 − 3n = lim √
= lim √
n→∞
n→∞
9n2 + 2n − 2 + 3n n→∞ 9n2 + 2n − 2 + 3n
3n4 − 4
= lim
n→∞ 3 − 2n3 + 6n4
n→∞
lim
2 − n2
2−0
2
2
1
=√
= lim √
=
= =
n→∞
3+3
6
3
9+0−0+3
9 + n2 − n22 + 3
(4)
(√
)
√
n2 (4n6 − 6n − (4n6 + 6n))
−12n3
√
√
4n6 − 6n − 4n6 + 6n = lim √
= lim √
n→∞
n→∞
n→∞
4n6 − 6n + 4n4 + 6n
4n6 − 6n + 4n6 + 6n
−12
−12
−12
−12
√
√
=
=
= −3
= lim √
=√
n→∞
2+2
4
4−0+ 4+0
4− 6 + 4+ 6
lim n2
n5
(1) の答え
問２
(1)
n5
−2
1
2
(2) の答え
(3) の答え
1
3
(4) の答え
−3
(
)
次の数列の収束・発散を調べよ。
答えは、に収束、に発散、で振動と書くこと
{
}
{
}
{
}
{
}
2n2 + 3
5n2 − 4
2 + 3n(−1)n
n2 − 2
(2)
(3)
(4)
n(4n − 5)
n(3n2 + 2)
4−n
3n − (−0.7)n
2 + n32
2n2 + 3
1
2n2 + 3
2+0
= lim
=
lim
=
=
5
2
n→∞ 4n − 5n
n→∞ 4 −
n→∞ n(4n − 5)
4−0
2
n
1
に収束 )
2
(
(1) lim
5
− n43
5n2 − 4
5n2 − 4
0−0
0
n
(2) lim
= lim
= lim
=
= =0
2
2
3
n→∞ n(3n + 2)
n→∞ 3n + 2n
n→∞ 3 + 2
3+0
3
n
2 + 3n
=
n→∞ 4 − n
(3) n 偶数で lim
2
n
4
n
+3
2 − 3n
=
= −3, n 奇数で lim
n→∞ 4 − n
−1
n − n2
n2 − 2
=
lim
n→∞ 3 − (−0.7)n ·
n→∞ 3n − (−0.7)n
(4) lim
(1) の答え
1
に収束
2
(2)
1
n
=
2
n
4
n
−3
= 3 ( ±3 で振動、又は収束しない )
−1
∞−0
∞
=
=∞
3−0·0
3
0 に収束 (3)
( 0 に収束 )
( ∞ に発散 )
±3 で振動
(4)
∞ に発散
問３
次の数列 {an } の極限値 lim an を求めよ。
n→∞
1
an (6 − an )
(n = 1 , 2 , · · · )
4
1
= an (6 − an )
(n = 1 , 2 , · · · )
4
1
= an − 2
(n = 1 , 2 , · · · )
3
= 3 an + 6
(n = 1 , 2 , · · · )
√
= 3 an + 4
(n = 1 , 2 , · · · )
√
= 3 an − 4
(n = 1 , 2 , · · · )
(1) a1 = 1 , an+1 =
(2) a1 = 8 , an+1
(3) a1 = 2 , an+1
(4) a1 = 2 , an+1
(5) a1 = 2 , an+1
(6) a1 = 2 , an+1
y
図1
(1) y = x と y = f (x) との交点を考える。 lim an = α とおくと
6
0
n→∞
図１より 0 < x < 6 の範囲では１点に収束するので
α=
y=x
1
α (6 − α) → 4 α = 6 α − α2 → α2 − 2 α = α(α − 2) = 0
4
→ α=0, 2
x
2 3
∴ lim an = 2
y = 14 x(6 − x)
n→∞
(2) a2 = −4 , a3 = −10 < 0 以下 an < −2n < 0 (n <
= 3)
(
)
（図１をたどっても） lim an = −∞
正確には帰納法で
n→∞
)
1
1(
an − 2 + 3 = an + 3 より
3
3
)
)
)
1(
1(
1(
5
5
an+1 + 3 = an + 3 = 2 an−1 + 3 = · · · = n a1 + 3 = n → lim n = 0 より lim an = −3
n→∞ 3
n→∞
3
3
3
3
(
)
(4) an+1 + 3 = 3 an + 6 + 3 = 3 an + 3 より
y
図２
(
)
(
)
(
)
2
n
n
an+1 + 3 = 3 an + 3 = 3 an−1 + 3 = · · · = 3 a1 + 3 = 5 · 3
√
y = 3x + 4
n
lim 5 · 3 = ∞ より
lim an = ∞
(3) an+1 + 3 =
n→∞
n→∞
√
3 x + 4 と y = x の交点を求めると
(
)(
)
x2 − 3x − 4 = x − 4 x + 1 = 0
y=x
(5) 図２より y =
x
− 43
0
y > 0 → x > 0 より x = 4
∴ lim an = 4
n→∞
√
(6) 図３より y = 3 x − 4 と y = x の交点を求めると
4
y
図３
y=
(
3 )2 7
+ =
̸ 0
x2 − 3x + 4 = x −
2
4
x 実数より解は存在しない
(1) の答え
(4) の答え
∴ lim an は存在しない
n→∞
(2)
lim an = ∞
(5)
n→∞
3x − 4
y=x
lim an = 2
n→∞
√
0
x
4
3
lim an = −∞
(3)
lim an = 4
(6)
n→∞
n→∞
4
lim an = −3
n→∞
lim an は存在しない
n→∞

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