第2章

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第2章
効用最大化問題と需要
この章では，予算制約線と無差別曲線を使って，効用を最大にする点の特徴について解
説する。
2.1 最適消費点
ミクロ経済学の講義において，効用を最大にするような消費の組み合わせ（最適消費
点）の典型例は，全ての財の消費量が正となる状況（内点解）である。
定義 1 最適消費点とは，選択可能な消費の組み合わせの中で，最大の効用を与えるもの
である。
定義 2 内点解とは，全ての財の消費量が正となる最適消費点のことである。端点解と
は，少なくとも 1 つの財の消費量がゼロとなる最適消費点のことである。
この内点解と端点解の定義は，あまり正確な表現ではない。本来なら，ある財の消費量
がゼロになるかではなく，最適消費点における偏導関数の値がゼロとなっていないものを
含むかによって，定義されるものである。ただし，この講義では上で紹介した定義を用い
る。その理由は，このような定義であっても，この講義内では深刻な問題は発生しないか
らである。
以下では，最適消費点を与える様々な状況を見ていく。
■内点解
最初に，最適消費点の典型例について考えてみよう。つまり，最適消費点で
は，全ての財の消費量が正となっている状態を考える。これを図示すると，次の図 2.1
になる。この図では，最適消費点は (x, y) = (x∗ , y ∗ ) となっている。その時の効用は
u(x∗ , y ∗ ) = u∗ である。
■端点解自分で考えている問題が常に内点解となるわけではない。例えば，無差別曲線
が図 2.2 のような形をしていると，最適消費点は (x, y) = (x∗ , 0) となる。この図では無
差別曲線と予算制約線が接する部分があるが，この (x, y) = (x′ , y ′ ) は最適消費点となら
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効用最大化問題と需要
図 2.1 最適消費点が内点となる場合
u(x, y) = u∗
y
y∗
x∗
O
x
PX x + PY y = m
ない。その理由は，予算制約線上により効用の高い点が存在するからである。点 (x′ , y ′ )
はむしろ，予算制約線上で効用を最小にしている点である。
図 2.2 最適消費点が端点となる場合
y
u(x, y) = u∗
y
y∗ = 0
O
x
x
x∗
PX x + PY y = m
この例から分かることとして，無差別曲線と予算制約線が接した場合，直ちにそこが最
適消費点となるかは分からないということである。
■解が一意でない場合
無差別曲線が図 2.3 のような形の場合，最適消費点が複数ある
ケースも考えられる。この図では，点 (x∗ , y ∗ ) および (x∗∗ , y ∗∗ ) が最適消費点となってい
る。したがって，考えているテーマによっては，最適な点が必ずしも 1 つではないことに
2.2 価格消費曲線
3
注意しなければならない。
図 2.3
最適消費点が 2 つある場合
y
u(x, y) = u∗
y∗
y ∗∗
O
x
x∗∗
PX x + PY y = m
x∗
最適消費点が複数ある場合，その中のどれが実現しそうかという問題を考える必要があ
る。しかしながら，ここではそういった問題について立ち入らないことにする。
■練習：解が無数にある場合
ある条件 a ≤ g1 (x, y) ≤ b を満たす領域があり，そこに含
まれる消費点は全て無差別であるとする。このとき，最適消費点が無数にあり得ることを
図を用いて示しなさい。
2.2 価格消費曲線
価格や所得が変わることによって，予算制約線は変化する。すると，予算制約線と無差
別曲線の接点は，予算制約線の変化後には接点でなくなってしまう。そのため，新たな最
適消費点は，変化の前後によって異なる。ここでは，価格が変化した場合，内点解のケー
スの最適消費点はどのように変わるのかを考えてみよう。
′
まず，財 X の価格が PX から PX
に上昇した場合を考えてみよう。予算制約線
PX x + PY y = m を変形すると，次式となることを思い出そう。
y=−
m
PX
x+
.
PY
PY
′
ここで，財 X の価格が PX
に上昇すると，この予算制約線の傾きは急になるが，切片
は変化しない。これは，傾きには PX を含むが，切片には含まないからである。財 X の
価格変化の前後における予算制約線は次の図 2.4 となる。
このように価格が上昇すると，予算制約線は変化する。一般に価格が高くなると，消費
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図 2.4
効用最大化問題と需要
財 X の価格上昇と予算制約線の変化
y
m
PY
PX x + PY y = m
PX x + PY y = m
x
O
−
図 2.5
PX
PY
−
PX
PY
財 X の価格上昇と最適消費点の変化
y
m
PY
y ∗∗
y∗
O
x
x
∗∗
x
∗
−
PX
PY
−
PX
PY
量は減少するはずである。このような状況を図示すると，次の図 2.5 のようになる。財 X
の価格上昇によって，最適消費点が (x∗ , y ∗ ) から (x∗∗ , y ∗∗ ) に変化していることが分か
る。この図では，x∗ > x∗∗ かつ y ∗ < y ∗∗ が成立しているので，財 X の価格上昇は，財
X の消費量の減少と財 Y の消費量の増加をもたらしていることが確認できる。
さて，財 X の価格が変化した場合，最適消費点がどのように動くか分かったので，価
格消費曲線を描くことができる。
定義 3
財 X の価格消費曲線とは，財 X の価格が変化した場合，最適消費点がどの様に
2.2 価格消費曲線
5
動くか図示したものである。
財 X の価格消費曲線を図示すると次の図 2.6 となる。この図の特徴は以下の通りであ
る。まず，価格消費曲線上の点は，ある価格での最適消費点となっている。また，財 X
の価格が非常に高い場合，財 X の消費量はゼロになる。したがって，全ての所得を財 Y
の消費に使うので，財 X の価格消費曲線は x = 0 となる予算制約線上の点を通る。この
点は図中の点 D に対応する。価格が上昇するにつれ，最適消費点は価格消費曲線上を左
に移動することになる。
図 2.6 財 X の価格消費曲線
y
D
C
B
A
x
O
−
■練習：予算制約線の変化と最適消費点
PX
PY
−
PX
PY
予算制約線が変化した場合，最適消費点がどの
ように動くか理解するために，次の問題を考えてみよう。
1. 財 Y の価格消費曲線を図示しなさい。
2. 財 X の価格が上昇したにもかかわらず，財 X の消費量が増えるような場合を図示
しなさい。
（ヒント：ギッフェン財）
3. 所得が増加した場合，最適消費点がどのように変化するか図示したものは，所得消
費曲線と呼ばれる。この所得消費曲線を図示しなさい。
4. 所得が増加した場合にもかかわらず，ある財の消費量が減少したとする。この財は
下級財と呼ばれている。財 X と財 Y を消費する場合，両財とも下級財となる状況
は存在するだろうか？図を使って議論しなさい。（厳密な証明は必要ない。）
5. 所得が変化するにつれて，ある財が上級財になったり下級財になったりする状況を
考えることができるだろうか？図を使って議論しなさい。
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効用最大化問題と需要
2.3 需要曲線
経済学では，「需要」と「供給」という概念は非常に重要と考えている。実際，市場で
決まる価格を考える場合，需要と供給が一致するという条件を使う。ここでは，効用最大
化問題の解である最適消費点の図を使って，需要曲線について考えてみよう。
定義 4
需要曲線とは，価格と最適消費量の関係を表す曲線のことである。
価格を縦軸に示し，需要量を横軸に示した平面上において，価格と最適消費量の組を図
示したものが需要曲線であるので，これを描くためには，価格消費曲線の情報が役に立
つ。例えば，財 X の価格消費曲線は既に横軸に財 X の需要量（最適消費量）をとってい
るので，この需要量に対応した価格を図示すれば良いことになる。
図 2.7
財 X の需要曲線
y
D
C
B
A
x
O
PX
−
PY
PX
−
PX
PY
yC
yB
yA
O
x = D(PX )
xC
xB
xA
x
このように財 X の価格消費曲線から，需要曲線を描くと図 2.7 となる。価格消費曲線
を描いた際に，価格が増加するにつれて，財の最適消費量が減少していったことから，需
要曲線は右下がりになっている。多くの財において，需要曲線はこのように右下がりの形
2.4 弾力性
7
状を有しているが，ギッフェン財のケースを考えると，必ずしも右下がりの形状が維持さ
れるわけではないことが分かる*1 。
2.4 弾力性
この節では弾力性の概念について説明する。弾力性とは，基本的にある変数が 1% 増加
したとき，もう一方の変数が何 % 変化するかを表したものである。
定義 5 A の B 弾力性とは，A を表す変数が 1% 増加した時，B を表す変数が何 % 変化
するかを表したものである。
ここで，A を表す変数を a とし，B を表す変数を b とする。このとき，数式を用いて A
の B 弾力性 eAB の概念を表すと次のようになる。
da
b
×
.
a
db
eAB =
ただし，多くの教科書では弾力性の値が正になるように定義されており，この式の右辺
に −1 を掛けたる場合もある。弾力性の概念は抽象的に感じられるだろうから，以下では
具体的な弾力性について考えてみよう。
■需要の価格弾力性
まず，需要の価格弾力性である。先ほどの定義の A に需要，B に
価格を代入して考えると，これは「価格が 1% 増加した場合，需要が何 % 変化するか」を
表すことになる。価格を P ，需要を D で表すと，需要の価格弾力性 eDP は次式となる。
eDP = −
P
dD
×
.
D
dP
この数式による定義は，右辺の前にマイナスが付いている。この理由は，一般に価格が
増加すると，需要は減少するため，dD/dP < 0 となるので，右辺の前にマイナスを付け
なければ，右辺は負になってしまうからである。
■需要の所得弾力性
次に，需要の所得弾力性を考える。先ほどと同様に，定義の A に
需要，B に所得を代入すると，これは「所得が 1% 増加した場合，需要が何 % 変化する
か」を表すことになる。所得を m，需要を D で表すと，需要の所得弾力性 eDm は次式と
なる。
eDm =
m dD
×
.
D
dm
今度の定義は，右辺の前にマイナスが付いていない。この理由は，一般に所得が増加す
ると，需要も増加するので，dD/dm > 0 となるので，右辺の前にマイナスを付けないの
である。
*1
ギッフェン財については，前節の練習問題を参考にされたい。
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効用最大化問題と需要
2.5 発展：弾力性と回帰係数
この節では，対数変換した変数を用いた回帰分析の係数は，弾力性を表していることを
説明する。この節の内容は重要であるが，少し数学を使う。したがって，期末試験の範囲
には入れない。そのため，難しいと感じるようであれば省略しても構わない。
弾力性の概念は幾分か抽象的であり，何のためにこのような定義を紹介しているのか理
解に苦しむかもしれない。しかし，この弾力性の概念は，ミクロ経済学だけでなくデータ
を用いた計量分析の場面においても出会うのである。
計量分析では，しばしば複数の変数間の関係を調べることがある。例えば，窃盗に対す
る懲役の長さの決定要因を調べたい場合，その事件の懲役だけでなく，動機，被害額，被
告人の年齢などを考慮する必要があるかもしれない。ここでは，簡単化のため，窃盗の被
害額と被告人の年齢のみを使って議論してみよう。
懲役の長さを Y懲役，被害額を X金額，年齢を X年齢で表すことにしよう。計量分析では，
しばしば次のような線形の関係を想定する。
Y懲役 = b0 + b1 X金額 + b2 X年齢 + e誤差 .
最終項の e誤差はこのモデルで捉えることのできない部分を表している。計量分析の目的
は，データを使ってこの b0 , b1 , b2 の値を求めることである。この値が求まれば，懲役の
長さの予測値を出すことができる。例えば，被害額の単位が万円であり，懲役の長さの単
位が月であったとしよう。そこで，b1 = 0.1 という計算結果を得たとする。すると，被害
額が 1 万円増加すると，懲役の長さが 0.1 ヶ月長くなるということが分かるのである。
ここで，使用するデータの対数値をとり，次のようなモデルに変形したとしよう。
log Y懲役 = b0 + b1 log X金額 + b2 log X年齢 + e誤差 .
ただし，log は自然対数を表す。
ここで，両辺を X金額で微分してみよう。対数の微分に関する知識と合成関数の微分に
関する知識を用いると，この式は次のようになる。
dY懲役
1
= b1
.
Y懲役 dX金額
X金額
1
両辺に X金額を掛けると，b1 は次のようになる。
b1 =
X金額 dY懲役
.
Y懲役 dX金額
この式の右辺は，懲役の長さの被害額弾力性を表していることが分かる。したがって，
データを対数値に変換し回帰分析を行うと，その係数は弾力性を表すことになる。このよ
うな操作は，データを扱う分析においてしばしば用いられている。現時点でこの内容を理
解する必要はないが，論文を読むときまでには理解しておくと便利であろう。

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