線型楕円型微分方程式の解の評価に関する注意池辺信範小野昭 (九大工) 。最近 ,楕円型微分方程式の解の境界附近の評価に関して,Agｍon, Browder,Ｄouglis,Hormander,Nirenberg,Schechterなどの興味ある結果が報告されている. ここでは[1],[3]の方法を用いて,境界附近の評価に関する結果を報告する。なお詳細な証明は九大理学部紀要に投稿する予定である. §１.定義および仮 E'za-iを(72+1)一次元・ ,Zrz,t)で定のEuclid空間とし、その座標をp=(ｘ1、ｘ2, あらわす。いま[1]の 698∼707)つ仮設(i)フqD,伍D五p又は(五i)のぎのような境界値問題を考えることにする. Iz12 - -t2 t R2 o. もとで(p663およびpp. でL〈P巧D)u(f)1瓢F(P) (1) 6-zV R2 Rt つぎに ,わ schitl条小さ数K、（九大教養） = でBゴ(z;D)ze(少1=φ 0 れわれはＦおよび φ 体([2]Chapt.Vl,§6)をな任意の正数としたとき(た β 丈o<β<1)が存在してに関しLp空間ゴ(z) における β 次のLiPr 仮定する。すなわち,1刻だしhn.⊥ ≧oとする)適を十分当な正の定 ‚½‚¾‚µ Holder If' I hi° (2) I IITcbj —95j 1 = g. t. b. T-hV.—Z7.K1h1(3 -1-ntilp p u i(z,o)=OitZ) が成立するものとする. 連続牲 _Dsu( p), の § 2. [定理1]u(P)を界の近傍で0に条件(2)のもとでの(ユ)の解で ,ΣRの曲面境なると仮定する、このときd一壇架ド夷長レ碑らtzit"z,tf∈ ご,、副細である。 = -[ Max. n.+1 I > - n +11 2 nz„ inf.+ ) とする. い*整数) 証明の方法は[1]のSchauder型評価[3]のにより, Sup. 134-h,pE ZR Ins(60,p+-h)-Liii),)1 なおこの結果はa+β 〈1の結果を用い < 00 ときは ,ＬＰ空間を示す. における β 次のLip- 条件を仮定すれば通常の意味で β 次だけHolder連続性 § 3.. Ds'.0 (p) の〔定理2]UJf))を[定 >1を満足するとすればに属する. ,背理法 schissがよくなることを意味連続性について理]同 ,u(P)は様の解とし,さらに,β ΣRで殆んど至る所Ｃ7s婦がCt+β ←(d+β..1) 証明の方法は IDs(utp+ lini IhI-~ o h)— u(p))I I/I < を示し,実 oo 函数論の定理による. なお,同様の方法により,β 二1のときはu∈C(s+1)+Ck(ΣR)であることが証明される. 参 [1] Agmon, S., Douglis, the boundary tial equations ons, r, [3] Sobolev, Math. for 文 A., Nirenberg, solutions satisfying L., I,II, Theorie 献 L., Estimates of elliptic general Comm. Pure Appl. Math., [2] Schwarss, Paris 考 partial differen- boundary 12 (195), des distributions, near conditi- 623-727. Hermann, 1950-51. S., Sbornik, On a theorem. 4 (1938), of functional 471-497 . analysis,