実世界指向システム
Real-world Oriented Systems
2. 幾何学的な計算の基礎
筑波大学情報学群情報メディア創成学類
三河正彦
1
ロボットの小話その1
<ロボットの語源>
戯曲R.U.R.(Rossum's Universal Robots)
1921年旧チェコスロバキアの劇作家カレルチャペック(Karel Capek)作
チェコ語で「働く人」
ロボット (R.U.R.)
チャペック作，千野栄一訳，岩波文庫
ISBN 4-0032-7742-2，￥630(税込)
実世界指向システム
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
2
ロボットの小話その2
<ロボット3原則> (1950年)
第1条
ロボットは人間に危害を加えてはならない．
また人間に危害が及ぶのを見過ごしてはならない．
第2条
ロボットは，第1条に反しない限り，
人間に服従しなければならない．
第3条
ロボットは，第1条と第2条に反しない限り，
自身を守らなければならない．
われはロボット
アイザックアシモフ作，小尾扶佐訳，早川書房
ISBN 4-1501-1485-4，￥760(税込)
実世界指向システム
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
3
生物およびロボットの機能
知覚(sense)
意図(decide)
動作(act)
記憶(store)
生物はすでにこれらの機能を有する．
ロボティクスの研究はこれらの機能の実現を目指す!
実世界指向システム
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
4
マニピュレータ
実世界指向システム
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
5
移動ロボット
• 非ホロノミックなタイプ (全方向移動不可)
• ホロノミックなタイプ (全方向移動可)
実世界指向システム
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6
ビジョンシステム
ASIMO (HONDA)
2台以上のカメラを用い，立体視が可能
実世界指向システム
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7
生物およびロボットの運動制御系
• アクチュエータ
モータ(電動/油圧/空気圧)等，機械を動かすものの総称
• センサ
内界センサ: 関節の角度やアクチュエータの動作速度等，
ロボットの内部状態を計測
外界センサ: ロボットを取り巻く環境等，外部情報を計測
→ ビジョンシステム等
実世界指向システム
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8
マニピュレータ
アクチュエータ
電動モータ
内界センサ
エンコーダ(関節角度計)
トルクセンサ
7つの関節 → 7自由度
実世界指向システム
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9
移動ロボット
• 非ホロノミックなタイプ (全方向移動不可)
アクチュエータ
電動モータ
内界センサ
エンコーダ(角度計)
外界センサ
カメラ
ステアリング
アクセル → 2自由度
• ホロノミックなタイプ (全方向移動可)
実世界指向システム
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10
生物およびロボットの運動制御系
アクチュエータ
電動モータ
内界センサ
エンコーダ(角度計)
ビジョンセンサ自体が外界センサ
2台以上のカメラを用い，立体視が可能
実世界指向システム
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
11
座標変換 (2次元空間): ロボットの状態を幾何学的に表現
f
y
x
B
y
A
実世界指向システム
x
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
12
座標変換 (2次元空間): ロボットの状態を幾何学的に表現
f
手先位置
y
B
y
A
実世界指向システム
x
x
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
12
座標変換 (2次元空間): ロボットの状態を幾何学的に表現
f
目標位置
手先位置
y
BB
y
A
実世界指向システム
x
x
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その前に... 三角関数の復習
•
a
•
c
b
a
•
c
b
a
c
b
実世界指向システム
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13
ちょっとだけロボットらしく
y
p
r
0
実世界指向システム
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x
14
ちょっとだけロボットらしく: 微分の復習
•
y
r
0
実世界指向システム
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x
15
ちょっとだけロボットらしく: 微分の復習
• 角度θが変化する場合
p= (
y
r sin
r cos
p = ( r cos
r sin
r sin
)
)
r
0
実世界指向システム
r cos
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x
15
微分の復習
をで微分 →
(sin )
=
cos をで微分 →
(cos )
=
tan をで微分 →
(tan )
=
sin
sin
を時間 t で微分 →
cos を時間 t で微分 →
tan を時間 t で微分 →
実世界指向システム
⇥sin
=
⇥t
⇥cos
=
⇥t
⇥tan
=
⇥t
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17
ちょっとだけロボットらしく: 行列の復習
y
r
0
実世界指向システム
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x
18
行列の復習: 積
実世界指向システム
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19
ベクトル(行列)の復習
•
y
c
a
y
b
c
b
x
x
a
•
y
c
a
実世界指向システム
y
b
-b
x
c
b
-b
a
x
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20
ベクトル(行列)の復習
•
•
実世界指向システム
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21
ベクトル(行列)の復習
<逆行列>
実世界指向システム
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22
ベクトル(行列)の復習
•
y
y’
y
a’
a
a
x
x
x’
実世界指向システム
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23
転置行列
実世界指向システム
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24
座標変換 (2次元空間): 描画物体の状態を幾何学的に表現
• 1つの点と2つの座標系間の関係
f
y
x
3B
y
3A
実世界指向システム
x
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25
1つの点と2つの座標系間の関係 (2次元空間)
f
y
x
B
y
A
実世界指向システム
x
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
26
1つの点と2つの座標系間の関係 (2次元空間)
f
y
x
B
y
A
実世界指向システム
x
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
27
1つの点と2つの座標系間の関係 (2次元空間)
f
y
x
Bp
f
Ap
f
B
y
Ap
B
A
実世界指向システム
AR
B
x
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
27
応用その1: 2次元3自由度マニピュレータ
y
30
実世界指向システム
基準座標系
x
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
29
応用その1: 2次元3自由度マニピュレータ
f
y
d2
y
y
31
30
実世界指向システム
d 1 32
x
基準座標系
手先位置
x Q3
d3
Q2
Q1
x
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
33
29
応用その1: 2次元3自由度マニピュレータ
f
y
d2
y
y
d 1 32
x
31
30
基準座標系
実世界指向システム
手先位置
x Q3
d3
Q2
Q1
x
33
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
30
応用その1: 2次元3自由度マニピュレータ
f
y
31
30
実世界指向システム
x Q3
d3
y
y
d2
d 1 32
x
基準座標系
手先位置
Q2
Q1
x
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
33
31
応用その2: 2台の車
31
x y
32
x y
y
x
実世界指向システム
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32
回転行列
実世界指向システム
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34
逆行列
実世界指向システム
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35
並進の合成
y
p3
p
p2
p1
x
実世界指向システム
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36
回転の合成
y
y1
y2
y3
x3
2
R3
3
x2
1
R
2 2
1
実世界指向システム
0
0
R1
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R3
x1
x
37
2次元3自由度マニピュレータ再び...
f
y
d2
y
y
31
30
実世界指向システム
d 1 32
x
基準座標系
手先位置
x Q3
d3
Q2
Q1
x
33
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
38
座標変換
<1つの点と2つの座標系間の関係>
f
z
x
z
x
実世界指向システム
B
y
A
y
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39
座標変換
f
z
x
z
x
実世界指向システム
B
y
A
y
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
39
1つの点と2つの座標系間の関係
f
z
x
z
x
実世界指向システム
B
y
A
y
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
40
1つの点と2つの座標系間の関係
f
z
Bp
f
Ap
f
x
z
B
Ap
B
x
実世界指向システム
A
AR
B
y
y
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40
3次元空間における回転行列
実世界指向システム
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
42
x軸，y軸，z軸まわりの回転
z’
z
z
z z’
z’
+
y’
A’
+
x’
x
実世界指向システム
A’
A
y
A
x
+
y’
y
x’
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
y’
A’
A
x
y
x’
43
オイラー角
z’’ z z’
z’’’
y’’’
y’’
y’
A
A’
A’’
A’’’
x
実世界指向システム
x’’
x’
x’’’ y
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44
オイラー角
z’’ z z’
z’’’
y’’’
y’’
y’
A
A’’’
x
A
RA
A
RA
C⇥
= ⇤ S⇥
0
= Rz,⇥ Ry, Rz,⇤
⇥
⇥
S⇥ 0
C
0 S
C⇤
C⇥ 0 ⌅ ⇤ 0
1 0 ⌅ ⇤ S⇤
0
1
S 0 C
0
A
RA
C⇥C C⇤ S⇥S⇤
= ⇤ S⇥C C⇤ + C⇥S⇤
S S⇤
実世界指向システム
x’’
x’
x’’’ y
C⇥C S⇤ S⇥C⇤
S⇥C S⇤ + C⇥C⇤
S C⇤
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
⇥
S⇤ 0
C⇤ 0 ⌅
0
1
⇥
C⇥S
S⇥S ⌅
C
45
ロール・ピッチ・ヨー角
z
Roll
Pitch
A
Yaw
y
x
実世界指向システム
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
46
ロール・ピッチ・ヨー角
z
Roll
Pitch
A
Yaw
y
x
実世界指向システム
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
47
応用 -- 3次元4自由度マニピュレータ
f
手先位置
z
x
0
基準座標系
実世界指向システム
y
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
48
応用 -- 3次元4自由度マニピュレータ
f
z
z
z
d1
y
1
x
0
2
x
x
基準座標系
実世界指向システム
z
d2
y
d3
手先位置
y
3
x
3
2
1x
1z
y
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
48
応用 -- 3次元4自由度マニピュレータ
手先位置
f
z
z
z
1
x
0
z
d2
y
x
基準座標系
実世界指向システム
d1
y
2
x
d3
y
3
x
3
2
1x
1z
y
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
49
応用 -- 3次元4自由度マニピュレータ
手先位置
f
z
z
z
1
x
0
z
d2
y
x
基準座標系
実世界指向システム
d1
y
2
x
d3
y
3
x
3
2
1x
1z
y
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
50
応用 -- 3次元4自由度マニピュレータ
f
z
z
z
d1
y
1
x
0
2
x
x
y
3
x
3
2
1x
1z
基準座標系
実世界指向システム
z
d2
y
d3
手先位置
y
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
51
同次変換行列
f
z
Bp
f
Ap
f
x
z
B
Ap
B
x
実世界指向システム
A
AR
B
y
y
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52
おわり
実世界指向システム
筑波大学情報学群情報メディア創成学類三河正彦
53