レポート課題（2回目）略解

物理学Ⅰ
問題１
（１）
レポート課題（2 回目）略解
sin  , cos 
sin    , cos   1 
を

の 2 次の微小量まで用いて近似せよ．
1
 2
2
（２）（１）で計算した近似値を用いて， sin
2
  cos 2   1
が成り立つことを示せ．ただし，2 次の微小量までを用いよ．
ここで，1 次の微小量で近似すると 2 乗和は１とならないことに注意せよ．
 1
2
2
sin 2   cos 2      1    
 2

1
2
2
4
    1        1
4
（３）
sin   , cos   
2
を

の 2 次の微小量まで用いて近似せよ．
 1
2
sin      sin  cos   cos  sin   sin  1      cos 
 2

1
2
 sin   cos   sin   
2
 1
2
cos      cos  cos   sin  sin   cos  1      sin 
 2

1
 cos   sin   cos   
2
（４）（３）の近似値を用いて，
となることを示せ．
sin 2      cos 2      1
2
1
1


2
2
sin      cos      sin   cos   sin      cos   sin   cos    
2
2

 

1
2
4
2
3
 sin 2   cos 2     sin 2     2 sin  cos   sin 2     sin  cos   
4
1
2
4
2
3
 cos 2   sin 2     cos 2     2 cos  sin   cos 2     sin  cos   
4
2
2
 1        1
2
2
2
問題２右図のように質量ゼロ，自然長 l，バネ定数 k の
バネの一端を天井に固定し，もう一方の端に質量 m のおもり
をぶら下げた．このとき， z  z0 でつり合った．
（１）つり合いの式を求めよ．
mg  k z0  l 
（２）この位置からおもりを手で持ち上げ，
z  zm z0  zm  l 
とした．z 軸は下向きを正としてい
る．このとき手で持ち上げたときの仕事で系のポテンシャル
エネルギーを定義できる．ポテンシャルエネルギーを計算せよ．
ただし，エネルギーの式は mg を含む形で求めよ．
zm
zm
z0
z0
U    Fdz    mg  k  z  l dz

zm
1
1


2
2
  mgz  kz 2  klz   mg  kl  z m  z 0   k z m  z 0
2
2

 z0

（３）（１）のポテンシャルエネルギーを重力的ポテンシャルエネルギーを含まない形
で書くことも可能である．その式を求めよ．また，どうして mg を含まない形にするこ
とができるのか，簡単に述べよ．
mg  k  z 0  l 
U  mg  kl  z m  z 0  



1
1
2
2
2
2
k z m  z 0   kz0  z m  z 0   k z m  z 0
2
2
1
1


2
  z m  z 0  kz0  k  z m  z 0   k  z m  z 0 
2
2



おもりを持ち上げるどの瞬間も重力とバネの力がつり合っているので，
仕事には重力は反映されないので．
（４）おもりから手をはなすと，おもりは周期的な運動（単振動）をはじめた．その周
期を求めよ．
m
d 2z
 mg  k  z  l    k  z  z 0 
dt 2
z  z 0  A cos t  B sin t  
T

m


k
k
m
問題４
右図のような長さ l の振り子の円周方向
（s 方向）の運動を考える．振り子のおもりは質量
M の質点とする．
（１）円周方向の運動方程式を求めよ．
ただし，円周方向の加速度は長さｓ（青線）
を時間で 2 回微分したものとし，ｓ方向の 1 次元
運動として考える．またおもりが真下にあるとき
とする．
s0
d 2s
M 2  Mg sin 
dt
（２）次の近似式を使い，（１）の運動方程式から角度θの満たす微分方程式を求めよ．
sin   
d 2
g
 
2
l
dt
ds を表す式を求め，単振動をすることを確認せよ．
dt
ds
ただし，st  0  l ,
 0 とする．
0
（３）質点の位置 s，速度
dt
  A cos t  B sin t

g
l
  A sin t  B cos t
 t  0  A   , t  0  B  0
0
s  l  l 0 cos t  
s  l  l 0 sin t
g
l
（４）質点の運動エネルギーT を求めよ．また，力学的エネルギーが一定と仮定したと
きのポテンシャルエネルギーU を予想し，なぜそのような式になるのか示せ．
1
1
1
2
2
T  M s 2  M  l 0 sin t   M 2 l 2 0 sin 2 t
2
2
2
1 g
1
2
2
 M l 2 0 sin 2 t  Mgl 0 sin 2 t
2 l
2
1
2
T  Mgl 0 sin 2 t
2
1
1
2
2
T  U  Mgl 0 sin 2 t  U  Mgl 0
2
2
1
1
2
2
U  Mgl 0 1  sin 2 t  Mgl 0 cos 2 t
2
2


1
2
U  Mgl 0 cos 2 t
2
ポテンシャルエネルギーを仕事から求めると，
s
s

 

1
U    Fds    Mg sin ds   Mgl  d  Mgl  2 0
2
0
0
0
1
1
2
 Mgl 2  Mgl 0 cos 2 t
2
2
となり，上記エネルギーの式に一致する．

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